Torsionswelle

Torsionmodul

$G$

• auch Schub- oder Schermodul
• $\left[G\right]=\frac{N}{m^{2}}$
• $\gamma=\frac{F_{t}}{G\cdot A}$ Drehwinkel ist Proportional zu angreifender Kraft und Querschnittsfläche des Materials

Torsionsschwingung

$T=I\ddot{\varphi}=\frac{\gamma}{l}\varphi$

Torsionspendelkette

Ansatz

$T_{n}=-\frac{\gamma}{a}\left(\varphi_{n}-\varphi_{n-1}\right)-\frac{\gamma}{a}\left(\varphi_{n}-\varphi_{n+1}\right)$

• $a$ Abstand der Pendel
• $I_{n}\ddot{\varphi}_{n}=\frac{\gamma}{a}\left(\varphi_{n+1}-\varphi_{n}+\varphi_{n+1}\right)$
• Randpunkte Fixiert $\varphi_{0}=\varphi_{N}=0$
• $\varphi_{n}=A_{n}e^{i\omega t}$ mit $A_{n}=Ae^{\pm i\cdot k\cdot a\cdot n}$

Kreisfrequenz

$\omega^{2}=\frac{4\gamma}{Ia}\sin^{2}\left(\frac{ka}{2}\right)$

• da $\omega$ eine Funktion von $k$ ist läuft die Welle auseinander.

Lösung

$\varphi_{n,\mu}=E\cdot e^{-\omega_{\mu}t}\sin\left(\frac{n\mu\pi}{N+1}\right)$

• Eigenfrequenzen $\omega_{\mu}=2\sqrt{\frac{\mu}{Ia}}\sin\left(\frac{\mu\pi}{2\left(N+1\right)}\right)$
• Amplitzuden $A_{n\mu}=E\sin\left(\frac{n\mu\pi}{N}\right)$