Potential und Arbeit im $\vec{E}$-Feld

Konservatives Feld

$\oint\vec{E}\left(\vec{r}\right)d\vec{r}=0$

Potentielle Energie

$\varphi\left(\vec{r}_{0}\right)=\frac{W_{pot}}{q}=-\int_{\infty}^{\vec{r}_{0}}\vec{E}\left(\vec{r}\right)d\vec{r}$

• der Referenzpunkt $\infty$ kann auch anders gewählt werden.

Elektronenvolt

$1eV=1,602\cdot10^{-19}J$

• Energie, die ein Elektron / Proton beim Durchlaufen der Spannung von $1V$ gewinnt.

Spannung

$U_{21}=\varphi\left(r_{2}\right)-\varphi\left(r_{1}\right)=-\int_{\vec{r}_{1}}^{\vec{r}_{2}}\vec{E}\left(\vec{r}\right)d\vec{r}=\frac{\Delta W}{q}$

• $\left[U\right]=1Volt=1V=\frac{N}{As}$
• $\left[W_{pot}\right]=1J=1C\cdot1V$

Coulombpotential

$\varphi\left(r\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}$

Äquipotentialflächen

sind Flächen gleichen Potentials.

• Es muss keine Arbeit geleistet werden, wenn eine Ladung auf einer Äquipotentialfläche verschoben wird.
• elektisch leitfähige Flächen sind immer Äquipotentialflächen

Kondensatorenergie

$W=\frac{q^{2}}{2C}=\frac{CU^{2}}{2}=\int Udq=\int CU dU$

Energie im Plattenkondensator

$W=\frac{C}{2}E^{2}d^{2}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}V$

• $V$ Volumen zwischen den Kondensatorplatten

Energiedichte

$w=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$

Feld und Potential

$\vec{E}\left(\vec{r}\right)=-\vec{\nabla}\varphi\left(\vec{r}\right)$

• Allgemein überlagert man als erstes die Potentialfelder und bestimmt per Gradientenbildung aus dem resultierenden Feld das $\vec{E}$-Feld

Richter'sche Einheitsvektoren

$\vec{e}_{x}=\vec{i}\;\vec{e}_{y}=\vec{j}\;\vec{e}_{z}=\vec{k}$

Dipol

Situation

Im Koordinatensystem befindet sich eine Ladung $+q$ auf der positiven $z$-Achse im Abstand $\frac{d}{2}$ und eine Ladung $-q$ auf der negativen $z$-Achse ebenfalls im Abstand $\frac{d}{2}$ zum Ursprung.

Ergebnis

der Überlegung soll eine Funktion für das $\vec{E}$-Feld und das Potential $\varphi$ für $\left\vert\vec{r}\right\vert\gg d$ sein. Das sogenannte Fernfeld

Dipolmoment

$\vec{p}=q\cdot\vec{d}$

Potential

$\varphi\left(x,y,z\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\left(qd\rig... ...eta}{r^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^{3}}$

• Potential des Dipols fällt stärker ab als das einer Einzelladung. Im Unendlichen kompensieren sich die beiden Ladungen gerade.
• ist nur noch Axialsymmetrisch

$\vec{E}$-Feld

$\vec{E}=\vec{e}_{\varrho}E_{\perp}+\vec{e}_{z}E_{\vert\vert}$

• $E_{\perp}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{3\cos\theta\cdot\sin\theta}{r^{3}}$
• $E_{\vert\vert}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{3\cos^{2}\theta-1}{r^{3}}$
• $E_{\perp}=0$ für $\theta=90°$ und $\theta=0°$
• $E_{\vert\vert}\left(\theta=0°\right)=-2E_{\vert\vert}\left(\theta=90°\right)=\frac{2p}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$

Kraft im äußeren Feld

$\vec{F}=q\vec{E}$

• $\vec{T}=\vec{p}\times\vec{E}$
• $T=pE\sin\varphi\left(\vec{p},\vec{E}\right)$
• Drehmoment ist bestrebt, den Dipol in Feldrichtung zu stellen $\Rightarrow$ Arbeitsleistung
• $dW=-Td\varphi$
• $W_{pot}\left(\varphi\right)=\int Td\varphi=-pE\cos\varphi+c=-\vec{p}\vec{E}+c$
• Um Dipol um $180°$ im $\vec{E}$-Feld zu drehen, braucht man den Energieaufwand $2pE$.
• Translationskraft im inhomogenen $\vec{E}$-Feld
  $$\vec{F}=\left(\vec{p}\vec{\nabla}\right)\vec{E}$$

Atomare Dipole

Dipolmoment

$\vec{p}=q\vec{\varrho}=4\pi\varepsilon_{0}R_{0}^{3}\vec{E}=\alpha_{0}\varepsilon_{0}\vec{E}$

• $q$ Ladung, die im Atom verschoben wird
• $\varrho$ Entfernung der Verschiebung
• $R_{0}$ Atomradius
• $\alpha_{0}=4\pi R_{0}^{3}$ atomare Polarisierbarkeit
• induzierte Dipolmomente sind kleiner als permanente Dipolmomente