Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden

$$V\left(x\right)=\begin{cases} 0 & 0\le x\le a\\ \infty & \textrm{sonst}\end{cases}$$

• $\psi$ muss stetig in $x$ sein!
• Lösung im Intervall $\left[0,a\right]$ ist
  

  $$E_{n} = \frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}n^{2}$$

  $$\varphi_{n}\left(x\right) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(n\frac{\pi}{a}x\right)$$

  
  außerhalb des Intervalls ist $\varphi_{n}\left(x\right)=0$. mit $n\ge1$
• Die $\varphi_{i}$ bilden ein Orthonormalsystem, und sogar eine Basis
  $$\varphi_{i}^{*}\varphi_{j}=\delta_{ij}$$
  die Fourier Basis
  • Falls $f\left(x\right)=\sum_{i}c_{i}\varphi_{i}\left(x\right)$
  • gilt $c_{i}=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi_{i}^{*}\left(x\right) f\left(x\right) dx$
• Mittelwert von $x$ ist Genau in der Mitte des Potentials, im Symmetriepunkt
  $\left\langle x\right\rangle =\frac{a}{2}$
• $\psi\left(x,t\right)=\sum_{i}c_{i}\varphi_{i}\left(x\right)e^{-\frac{\hbar}{i}E_{i}t}$
  • $\sum_{i}\left\vert c_{i}\right\vert^{2}=1$
    falls die $\varphi_{i}$ eine Orthonormalbasis bilden
• $\left\langle H\right\rangle =\sum_{i}\left\vert c_{i}\right\vert^{2}E_{i}$
  d.h. die $\left\vert c_{i}\right\vert^{2}$ sind die Warscheinlichkeiten als Energie $E_{i}$ zu messen