Harmonische Oszillatoren

• In der Umgebung eines lokalen Extremums lässt sich jede Funktion Näherungsweise als Parabel auffassen.
• Harmonische Oszillatoren in klassischer Mechanik
  $$V\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}$$

Potential

$$V\left(x\right)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$$

• hat Lösung
  $$\Psi\left(x,t\right)=\varphi\left(x\right)e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

• Lösungsansatz
  $$\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\right)^{2}+\left(m\omega x\right)^{2}\right]\varphi\left(x\right)=E\varphi\left(x\right)$$

Algebraische Lösung

• Definiere
  

  $$a_{+} := \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}+im\omega x\right)$$

  $$a_{-} := \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}-im\omega x\right)$$

  
  

• Operatoridentitäten
  

  $$a_{-}a_{+} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}+\frac{1}{2}\hbar\omega$$

  $$a_{+}a_{-} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}-\frac{1}{2}\hbar\omega$$

  
  

• Hamilton Operator
  $$\hat{H}=a_{-}a_{+}-\frac{1}{2}\hbar\omega$$

• Impuls
  $$p=\sqrt{\frac{m}{2}}\left(a_{+}+a_{-}\right)$$

• Ort
  $$x=i\sqrt{\frac{1}{2m\omega^{2}}}\left(a_{-}-a_{+}\right)$$

Kommutator

$\left[A,B\right]=AB-BA$

• $\left[AB,C\right]=A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B$
• $\left[x,p\right]=i\hbar$
• $\left[a_{-},a_{+}\right]=\hbar\omega$

Lösungen

falls $\varphi$ Lösung der Schrödinger Gleichung für Energie $E$, dann ist $\left(a_{+}\varphi\right)$ Lösung für die Energie $E+\hbar\omega$ und $\left(a_{-}\varphi\right)$ Lösung für die Energie $E-\hbar\omega$.

Normierung

falls $\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert\varphi\right\vert^{2}dx=1$ gilt

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert a_{-}\varphi\right\vert^{2}dx=E-\frac{1}{2}\hbar\omega$$

Lösungen

$$\varphi_{n}\left(x\right) = A_{n}\left(a_{+}\right)^{n}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}}$$

$$E_{n} = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

Iterative

Lösung

$$a_{-}\varphi_{n} = -i\sqrt{n\hbar\omega}\varphi_{n-1}$$

$$a_{+}\varphi_{n} = i\sqrt{\left(n+1\right)\hbar\omega}\varphi_{n+1}$$

• die Phase von $\pm i$ ist eigentlich irrelevant, ist aber so in der Konvention
• $a_{+}a_{-}\varphi_{n}=n\hbar\omega\varphi_{n}$
  $a_{-}a_{+}\varphi_{n}=\left(n+1\right)\hbar\omega\varphi_{n}$
• $\left\langle n\vert x\vert m\right\rangle =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{m}\delta_{n,m-1}+\sqrt{n}\delta_{m,n-1}\right)$

Viralsatz

besagt (nur beim harmonischen Oszillator)

$$\frac{1}{2}\left\langle E\right\rangle =\left\langle T\right\rangle =\left\langle V\right\rangle$$

Analytische Lösung

Lösung

$$\varphi_{n}\left(\xi\right) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}H_{n}\left(\xi\right)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}$$

$$\xi\left(x\right) = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$$

$$E_{n} = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

Hermite Polynome

$$H_{0}\left(x\right) = 1$$

$$H_{1}\left(x\right) = 2x$$

$$H_{2}\left(x\right) = 4x^{2}-2$$

$$H_{n}\left(x\right) = \sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{n}$$

$$= \left(-1\right)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$

$$= xH_{n-1}\left(x\right)-nH_{n-2}\left(x\right)$$

• $a_{j+2}=\frac{2j+2n}{\left(j+1\right)\left(j+2\right)}a_{j}$
• $a_{n}=2^{n}$
• Es kommen je nachdem ob $n$ gerade oder ungerade ist nur gerade oder ungerade Potenzen in $H_{n}\left(x\right)$ vor.
• Bilden ein Orthogonalsystem
  $$\int_{-\infty}^{\infty}H_{n}^{*}\left(x\right)H_{m}\left(x\right)e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx=n!\sqrt{2\pi}\delta_{nm}$$

• Lösen die DGL mit $n\in\mathbb{N}$
  $$y''-2xy'+2ny=0$$