Stationäre Zustände

• Potential $V\left(x\right)$ ist Zeitunabhängig
• Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als
  $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi\left(x,t\right)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\right)\psi\left(x,t\right)$$

• Seperationsansatz
  $$\psi\left(x,t\right)=\varphi\left(x\right)\cdot f\left(t\right)$$

• Löse für $E\in\mathbb{R}_{>0}$
  

  $$i\hbar\frac{d}{dt}f\left(t\right) = Ef\left(t\right)$$

  $$\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)\right)\varphi_{E}\left(x\right) = E\varphi_{E}\left(x\right)$$

  
  die zweite Gleichung heißt Zeitunabhängige Schrödingergleichung
• Lösung
  $$\psi\left(x,t\right)=\phi_{E}\left(x\right)\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

• Falls sich das System in einem stationären Zustand mit der Energie $E$ befindet:
  $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi\left(x,t\right)=E\psi\left(x,t\right)$

Statistische Interpretation

• $\psi$ Normierbar $\Leftrightarrow$ $\varphi_{E}$ Normierbar
• Jeder Erwartungswert einer dynamischen Variable (Operator) $A\left(x,\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\right)$hängt nicht von $t$ ab. (in einem Eigenzustand)
  • $\left\langle x\right\rangle =const$, $\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle =0=\frac{1}{m}\left\langle p\right\rangle$

Zustand definierter Energie $\left(E\right)$

• Analog zur klassischen Hamilton Funktion q.m. Hamilton Operator
  $$\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right)$$

• Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung lässt sich schreiben als
  $$\hat{H}\varphi\left(x\right)=E\varphi\left(x\right)$$
  was einer Eigenwertgleichung entspricht
• $\left\langle H\right\rangle =E$
  $\left\langle H^{2}\right\rangle =E^{2}$
  $\sigma=0$

Grundzustand

$x_{0}$ ist der Zustand in dem $\varphi\left(x\right)$ keine Nullstellen (außer evtl. am Rand) bestitzt

• dies ist auch der Zustand mit der geringsten Energie

Angeregte Zustände

haben $n=1,2,\ldots$ Knoten

gebundener Zustand

erhält man, falls gilt $E<\lim_{x\rightarrow\pm\infty}V\left(x\right)$

• Dies bedeutet, dass das Teilchen nicht in die Unendlichkeit verschwinden kann, sondern an eine Ortsumgebung gebunden ist

Allgemeine Lösung

Da die Schrödinger Gleichung linear ist, ergibt sich die allgemeine Lösung als Superponierung über alle Eigenlösugnen

$$\psi\left(x,t\right)=\sum_{i}c_{i}\varphi_{E_{i}}\left(x\right)e^{-\frac{\hbar}{i}E_{i}t}$$

Stetigkeit

• $\varphi_{E}$ ist überall stetig
• $\frac{d\varphi_{E}}{dx}$ ist überall stetig, wo das Potential nicht unendlich wird. Es gilt
  $$\Delta\left(\frac{d\varphi_{E}}{dx}\right)=\frac{2m}{\hbar^{2}}\l... ...int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon}V\left(x\right)\cdot\varphi_{E}\left(x\right) dx$$

Besondere Eigenschaften

Symmetrie

Ist $V\left(x\right)=V\left(-x\right)$ ist zu gegebenen $\varphi\left(x\right)$ auch $\varphi\left(-x\right)$ eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung zur gleichen Energie.

• Falls es je Energie nur eine Lösung gibt, muss dies Folglich eine gerade oder eine ungerade Funktion sein.

Merkregel

für Bereich mit Konstanten Potential $V_{0}$gilt

• bei $E<V_{0}$ ist $\varphi\left(x\right)=Ae^{kx}+Be^{-kx}$
  $\kappa=\frac{\sqrt{2m\left(V_{0}-E\right)}}{\hbar}$
• bei $E>V_{0}$ ist $\varphi\left(x\right)=A\sin\left(\omega x\right)+B\cos\left(\omega x\right)$
  $\omega=\frac{\sqrt{2m\left(E-V_{0}\right)}}{\hbar}$