gedämpfter harmonischer Oszillator

Kraft

$F=-kx-\beta\dot{x}$

DGL

$m\ddot{x}+\beta\dot{x}+kx=0$

• Bahn im Phasenraum ist eine schrumpfende elliptische Sprirale
  $\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}\dot{x}^{2}+\frac{k}{2}x^{2}\right)=-\beta\dot{x}^{2}$

DGL

$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x^{2}=0$

• $\gamma=\frac{\beta}{2m}$
  $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$

Bewegungsgleichung

Lösen mit $x\left(t\right)=Ce^{\lambda t}$ Ansatz

• $\lambda_{1/2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}$
• $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}$

  schwache Dämpfung

  $\omega_{0}^{2}>\gamma^{2}$

  $$x\left(t\right) =Ce^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\varphi\right)$$

  
  

  • $\tan\varphi=-\frac{\dot{x}\left(0\right)+\gamma x\left(0\right)}{\omega x\left(0\right)}$
    $C=x\left(0\right)\sqrt{1+\tan^{2}\varphi}$

  Kriechfall

  $\omega_{0}^{2}<\gamma^{2}$
  

  $$x\left(t\right) = e^{-\gamma t}\left({\scriptstyle x\left(0\right)\mbox{cosh}\left(\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}t\right)}\right.$$

  $$\left.{\scriptstyle +\frac{\dot{x}\left(0\right)+\gamma x\left(0\... ...mega_{0}^{2}}}\mbox{sinh}\left(\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}t\right)}\right)$$

  
  

  Aperiodischer Grenzfall

  $\omega_{0}^{2}=\gamma^{2}$

  $$x\left(t\right) =e^{-\gamma t}\left(x\left(0\right)+\left(\dot{x}\left(0\right)+\gamma x\left(0\right)\right)t\right)$$

  
  

  • Klingt am schnellsten ab von allen 3 Fällen