Definitionen

Permutation / Transposition I.241

Eine bijektive Abbildung $\pi:\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow\left\{ 1,\ldots,n\right\}$ heißt Permutation der Menge $\left\{ 1,\ldots,n\right\}$. Die Menge aller Permutationen von $\left\{ 1,\ldots,n\right\}$ wird mit $S_{n}$ bezeichnet.

Mit $t_{ik}$ bezeichnen wir die Permutation

$$t_{ik}\left(i\right)=k,t_{ik}\left(k\right)=i,\forall j\neq i,k:t_{ik}\left(j\right)=j$$

eine Transposition (vertauschen zweier Elemente).

Notation für Permutation:

Urbild	$1$	$2$	$\ldots$	$n-1$	$n$
Bild	$\pi\left(1\right)$	$\pi\left(2\right)$	$\ldots$	$\pi\left(n-1\right)$	$\pi\left(n\right)$

• $\left\vert S_{n}\right\vert=n!$
• jede Permutation kann als Hintereinanderausführung von Transpositionen geschrieben werden

Fehlstand / Signum I.242

Sei $\pi\in S_{n}$. Gilt $\pi\left(i\right)>\pi\left(j\right)$ für zwei Zahlen $1\leq i<j\leq n$, so heißt das Paar $\left(i,j\right)$ Fehlstand von $\pi$.

$\pi$ heißt gerade (ungerade), falls $\pi$ eine gerade (ungerade) Anzahl von Fehlstellen hat.

Das Signum von $\pi$ist

$$\mathrm{sign}\left(\pi\right):=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & \pi\ \mathrm{gerade}\\ -1 & \pi\ \mathrm{ungerade}\end{array}\right.$$

• eine gerade (ungerade) Permutation kann nur durch eine gerade (ungerade) Anzahl von hintereinander ausgeführten Transpositionen dargestellt werden.
• $\mathrm{sign}\left(\pi_{1}\circ\pi_{2}\right)=\mathrm{sign}\left(\pi_{1}\right)\mathrm{sign}\left(\pi_{2}\right)$
• $\mathrm{sign}\left(\pi^{-1}\right)=\mathrm{sign}\left(\pi\right)$

Determinante I.244

Sei $A=\left(a_{j,k}\right)$ eine $n\times n$-Matrix mit Elementen aus $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Dann heißt

$$\det\left(A\right)=\sum_{\pi\in S_{n}}\left(\mathrm{sign}\left(\pi\right)\prod_{k=1}^{n}\left(a_{n,\pi\left(n\right)}\right)\right)$$

Determinante von $A$ (Definition nach Leibnitz Formel) mit folgender Schreibweise:

$$\det\left(A\right)=\left\vert\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{array}\right\vert$$

• $n=2$
  $$\left\vert\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\vert=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

• $n=3$ (Regel von Sarrus)
  Man schreibe die Linke und Mittlere Spalte Rechts noch einmal daneben. Die 3 Diagonalen von Linksoben nach Rechtsunten werden nun multipliziert und mit positiven Vorzeichen addiert. Die 3 Diagonalen von Rechtsoben nach Linksunten mit werden nun multipliziert und mit negativen Vorzeichen dazuaddiert.
  $$\left\vert\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right\vert=$$
  $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$$
  $$-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$

• Da Berechnungsformel in $\mathbb{R}^{3}$ dem Spatprodukt entspricht, bezeichnet man die Determinante auch mit Volumenform.
• bei größeren $n$ macht es keinen Sinn geschlossene Ausdrücke Anzugeben, da die Anzahl der Terme mit $n!$ wächst.
• Bei Matrizen in Dreiecksgestalt (Ober- oder Unterhalb der Hauptdiagonale nur 0en) ist
  $$\det\left(A\right)=\prod_{k=1}^{n}a_{kk}$$

• $\det\left(A\right)=\det\left(A^{T}\right)$
• $\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det B$
• $\det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det\left(A\right)}$
• $\det\left(E\right)=1$
• bei komplexkonjungierten Zahlen:
  $\overline{\det\left(A\right)}=\det\left(\bar{A}\right)$

Verhalten von Determinante bei Zeilen- und Spaltenoperationen I.246

Schreiben $A=\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$ ( $\vec{s}_{i}$ Spaltenvektor). Die Determinante stellt eine alternierende Multilinearform dar.

• $\det$ ist in jedem Argument linear:
  $\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\lambda\vec{s}_{i}+\mu\vec{s}'_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$
  $\lambda\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)+$
  $\mu\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}'_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$
  für jeden Index $1\leq i\leq n$
• $\det$ ist alternierend:
  $\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$
  $-\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$
  für $1\leq\left(i\neq k\right)\leq n$

Analog gelten diese Aussagen auch für Zeilenoperationen.

Gaußalgorithmus für Determinanten

Der Algorithmus erfolgt hier wie bei der Bestimmung von Rängen. Ziel ist es die Determinante in eine Dreiecksgestalt zu bringen. Dann entspricht die Determinante dem Produkt der Hauptdiagonale. Allerdings ist Folgendes zu berücksichtigen:

• Zeilen- und Spaltenoperationen erlaubt, ändern aber zum Teil (berechenbar) den Wert der Determinante.
• Hat $A$ zwei gleiche Spalten (Zeilen), so ist $\det A=0$
• Addition mit einem Vielfachen einer anderen Spalte (Zeile) $\Rightarrow$ unverändert:
  $\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i}+\mu\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$
  $\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$ wenn $i\neq k$
• Multiplikation einer Spalte (Zeile) mit $\lambda\neq0\Rightarrow\det A$ mit $\lambda$ multiplizieren:
  $\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\lambda\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$
  $\lambda\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$
• Vertauschen zweier Spalten (Zeilen) ändert Vorzeichen von $\det A$:
  $\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{n}\right)=$
  $-\det\left(\vec{s}_{1},\ldots,\vec{s}_{k},\ldots,\vec{s}_{i},\ldots,\vec{s}_{n}\right)$

Determinante und Rang I.248

Der Rang einer $n\times n$-Matrix $A$ ist genau dann gleich $n$ ($A$ ist regulär), wenn $\det A\neq0$ ist.

$$\mathrm{Rang}\left(A\right)=n\Leftrightarrow\det A\neq0$$