Entwicklung nach einer Zeile/Spalte I.250

Adjunkte I.256

Sei $A=\left(a_{jk}\right)$ eine $n\times n$-Matrix. Durch Streichen der $j$-ten Zeile und $k$-ten Spalte entsteht die $\left(n-1\right)\times\left(n-1\right)$-Matrix.

$$B_{jk}=$$

${\scriptscriptstyle \left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & .. & a_{1,k-1} & a_{... ...vdots\\ a_{n,1} & .. & a_{n,k-1} & a_{n,k+1} & .. & a_{n,n}\end{array}\right)}$

$A_{jk}:=\left(-1\right)^{j+k}\det B_{jk}$ heißt Adjunkte des Eintrages $a_{jk}$.

Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte I.256

Sei $A=\left(a_{jk}\right)$ eine $n\times n$-Matrix. Dann gilt

$$\det A=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}A_{jk}\;\mathrm{Entw.}\ \mathrm{nach}\ j\mathrm{-ter}\ \mathrm{Zeile}$$

$$\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{jk}A_{jk}\;\mathrm{Entw.}\ \mathrm{nach}\ k\mathrm{-ter}\ \mathrm{Spalte}$$

• Am besten nach Spalte (Zeile) mit sehr vielen 0-en entwickeln
• Evtl. auch mischen mit Gauß Algorithmus

Vandermonde-Matrix I.258

Seien $x_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$).

$$V\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right):=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & ... ...-1}\\ \vdots\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \ldots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right)$$

heißt Vandermonde-Matrix in $x_{1},\ldots,x_{n}$. Es gilt

$$\det\left(V\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\right)=\prod_{1\leq k<j\leq n}\left(x_{j}-x_{k}\right)$$