Überführen von allgemeine Quadriken in Normalform

Allgemeine Quadrik

Eine Gleichung der Form

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

ist eine Quadrik in allgemeiner Form.

Drehen

Gegeben ist eine Quadrik in allgemeiner Form. Diese lässt dich nun so drehen, das der gemischte Term ($Bxy$) verschwindet, die Gleichung also die Form

$$\bar{A}\bar{x}^{2}+\bar{B}\bar{x}\bar{y}+\bar{C}\bar{y}^{2}+\bar{D}\bar{x}+\bar{E}\bar{y}+\bar{F}=0$$

mit $\bar{B}=0$ hat. Hierzu wird mit dem Winkel

$$\alpha = \frac{\arctan\left(\frac{B}{C-A}\right)}{2}$$

$$\bar{A} = A\cos^{2}\alpha-B\sin\alpha\cos\alpha+C\sin^{2}\alpha$$

$$\bar{B} =$$ 0

$$\bar{C} = C\cos^{2}\alpha+B\sin\alpha\cos\alpha+A\sin^{2}\alpha$$

$$\bar{D} = D\cos\alpha-E\sin\alpha$$

$$\bar{E} = E\cos\alpha+D\sin\alpha$$

$$\bar{F} = F$$

gedreht.

• $B^{2}-4AC=\bar{B}^{2}-4\bar{A}\bar{C}=d$ bleibt unberührt von der Drehung.

Identifizieren des Typs

mit $d=B^{2}-4AC=-4\bar{A}\bar{C}$

Ellipse

$d<0$

Parabel

$d=0$

Hyperbel

$d>0$

Verschieben in Ursprung

Gegeben ist eine Quadrik in der Form:

$$\bar{A}x^{2}+\bar{C}y^{2}+\bar{D}x+\bar{E}y+\bar{F}=0$$

Bei dieser wurde also bereits der gemischte Term ``weggedreht''.

Hyperbel, Ellipse

falls $\bar{A},\bar{C}\neq0$:

$$\frac{\bar{A}}{G}\tilde{x}^{2}+\frac{\bar{C}}{G}\tilde{y}^{2}=1$$

• $G=\frac{\bar{D}^{2}}{4\bar{A}}+\frac{\bar{E}^{2}}{4\bar{C}}-\bar{F}$
• $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{D}}{2\bar{A}}$
• $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{E}}{2\bar{C}}$

Parabel

falls $\bar{A}\neq0,\bar{C}=0$:

$$\tilde{y}=-\frac{\bar{A}}{\bar{E}}\tilde{x}^{2}$$

• $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{D}}{2\bar{A}}$
• $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{F}}{\bar{E}}-\frac{\bar{D}^{2}}{4\bar{A}\bar{E}}$

Parabel

falls $\bar{A}=0,\bar{C}\neq0$:

$$\tilde{x}=-\frac{\bar{C}}{\bar{D}}\tilde{y}^{2}$$

• $\tilde{y}\mapsto y+\frac{\bar{E}}{2\bar{C}}$
• $\tilde{x}\mapsto x+\frac{\bar{F}}{\bar{D}}-\frac{\bar{E}^{2}}{4\bar{C}\bar{D}}$

Gerade

falls $\bar{A},\bar{C}=0$:

$$y=-\frac{\bar{D}}{\bar{E}}x-\frac{\bar{F}}{\bar{E}}$$