Definition

Die komplexen Zahlen bilden zusammen mit den Rechenregeln für $+,\cdot$ einen Körper dessen Elemente wie folgt definiert sind

$$\mathbb{C}:=\mathbb{R}^{2}=\left\{ (x,y)\vert x,y\in\mathbb{R}\right\}$$

$$z=\left(x,y\right)=x+iy\in\mathbb{C}$$

$x=\Re(z)$ (Re) Realteil, $y=\Im(z)$ (Im) Imaginärteil

$i=\sqrt{-1}$ wird als Imaginäre Einheit bezeichnet.

Rechenregeln I.45

• Addition
  $z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)$
• Multiplikation
  $z_{1}z_{2}=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)$
• Division
  
  

  $$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1}\bar{Z}_{2}}{z_{2}\bar{z}_{2}}$$

  $$= \frac{z_{1}\bar{z}_{2}}{\left\vert z_{2}\right\vert^{2}}$$

  $$= \left(\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}},\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)$$

  
  

• Neutrales Element der Addition
  z= $\left(0,0\right)$
• Neutrales Element der Multiplikation
  z= $\left(1,0\right)$
• $i=\sqrt{-1}$