Kurvendiskussion Papula I.378

Bei einer Kurvendiskussion wird versucht möglichst viel über eine Funktion in Erfahrung zu bringen. Dabei kann man z.B. wie folgt folgendes Schema abarbeiten¹. Hier wird die Funktion $f(x)$ diskutiert.

Definitionsbereich / Definitionslücken

Angabe des Definitionsbereiches $D$. Auf Definitionslücken (z.B. wenn der Nenner eines Bruches Null wird) achten!!

Symmetrie

Angeben ob es sich um eine gerade oder ungerade Funktion handelt (siehe sub:gerade-/-ungerade).

Nullstellen

Alle $x_{k}$ Werte, bei der die Funktion den Wert Null annimmt $f(x_{k})=0$. Hierzu die Funktion am besten in Linearfaktoren (siehe sub:Fundamentalsatz-der-Algebra) zerlegen, da hier die Nullstellen leichter abgelesen werden können. Eine Funktion vom Grad $n$ kann bis zu $n$ Nullstellen besitzen.

Y-Achsenabschnitt

Der Wert von $f(0)$ wird Y-Achsenabschnitt genannt.

Pole

Alle $x_{k}$ Werte, an denen die Funktion den Wert $\pm\infty$ besitzt ( $f(x_{k})=\pm\infty$) werden Polstellen genannt. Wenn der Links-/Rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen

$$\lim_{x\rightarrow x_{k}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{k}^{+}}f(x)=\pm\infty,$$

handelt es sich um einen Pol ohne Vorzeichenwechsel, wenn nicht um einen mit Vorzeichenwechsel. Pole sind also Unstetigkeitsstellen, bzw. Definitionslücken, und lassen sich so auch finden (z.B. wenn der Nenner eines Bruches Null wird).

Ableitungen

Auflistung der (in der Regel die ersten drei) Ableitungen $f'(x),\ f''(x),\ f'''(x)$

Relative Extremwerte (Maxima und Minima)

Ein relatives Extremum an der Stelle $\left(x_{k},f(x_{k})\right)$ liegt vor, wenn
$f'(x_{k})=0$ und die erste Ableitung die nicht verschwindet (alle Ableitungen von 1 bis $n-1$ sind 0) eine geradzahlige Ableitung ist ( $f^{\left(n\right)}(x_{k})\neq0$).

Sonderfall
$f'\left(x_{k}\right)=0$ und $f''\left(x_{k}\right)\neq0$

• relatives Minimum (Tiefpunkt) mit $f^{\left(n\right)}(x_{k})>0$.
• relatives Maximum (Hochpunkt) mit $f^{\left(n\right)}(x_{k})<0$.
• Die Extremwerte sind Absolut, wenn es in der Funktion kein größeren / kleineren Wert gibt. Siehe Wertebereich.

Wendepunkte, Sattelpunkte

Ein Wendepunkt kann als Extremwert der 1. Ableitung (die Steigung ändert ihr Vorzeichen) interpretiert werden. Er liegt an der Stelle $\left(x_{k},f(x_{k})\right)$ liegt vor, wenn die 2. Ableitung 0, und die 1. Ableitung die daraufhin nicht verschwindet eine ungerade ist
$f''(x_{k})=0$ und $f^{\left(n+1\right)}(x_{k})\neq0$.

Sonderfall:
$f''(x_{k})=0$ und $f'''(x_{k})\neq0$.

Krümmung II.160

• konvexe (Linkskurve) Funktion, wenn stets: $f''\left(x_{k}\right)\geq0$
• konkave (Rechtskurve) Funktion, wenn stets: $f''\left(x_{k}\right)\leq0$

Verhalten der Funktion für $x\rightarrow \pm \infty$, Asymptoten im Unendlichen

Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen, wird von der Funktion $g(x)$ beschrieben, die der vorgegebenen Funktion $f(x)$ im Unendlichen immer ähnlicher wird.

• bei ganzrationalen Funktionen ist $g(x)=f(x)$
• bei gebrochenrationalen Funktion entspricht $g(x)$ dem ganzrationalen Anteil von $f(x)$ (Ergebnis einer Polynomdivision)
• bei echtgebrochenen Funktionen (Nennerpolynom von $f(x)$ hat einen höheren Grad als das Zählerpolynom) ist $g(x)=0$

Asymptote im Unendlichen (bzw. an den Intervallgrenzen) sind die Werte die $f(x)$ an den Grenzen des Definitionsbereichs annimmt ($\pm\infty$, 0)

Wertebereich der Funktion

Hier wird das Intervall verlangt, in dem die Werte der Funktion liegen können. Hier kann man sich an den Werten der Asymptoten im Unendlichen und den Extremwerten orientieren.

Zeichnung der Funktion in einem geeigneten Maßstab

Hier wird eine Zeichnung verlangt, die alle Extremwerte, Pole, Wende- und Sattelpunkte beinhaltet. Der Verlauf zwischen diesen Punkten kann intuitiv aus dem Handgelenk ergänzt werden. Wenn es sich um eine periodische Funktion handelt, recht es 2 - 3 Perioden zu zeichnen.