Uneigentliche Integrale II.131

Unter uneigentlichen Integralen versteht man uneingeschränkte Integrale (z.B.  $\int_{-\infty}^{+\infty}$) oder Integrale über uneingeschränkte Funktionen (z.B.  $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\ dx$).

Sei $-\infty<a<b\leq\infty$ und $f:\left[a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$. Für alle Teilintervalle $\left[\alpha,\beta\right]\subset\left[a,b\right)$ existiert das Riemannsche Integral. Die Funktion heißt uneigentlich integrierbar auf $\left[a,b\right)$, wenn

$$\lim_{\beta\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{\beta}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$

existiert. Entsprechend $-\infty\leq a<b<\infty$:

$$\lim_{\alpha\rightarrow a^{+}}\int_{\alpha}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$

Wenn beide Grenzen unbeschränkt sind, lässt sich dies durch Zerlegung des Integrationsbereiches lösen.

Majorrantenkriterium II.133

$\forall_{[a,b)}^{x}0\leq f\left(x\right)\leq g\left(x\right):$ Konvergiert das uneigentliche Integral $\int_{a}^{b}g\left(x\right)\ dx$, so auch $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\ dx$ und es gilt

$$0\leq\int_{a}^{b}f\left(x\right)\ dx\leq\int_{a}^{b}g\left(x\right)\ dx$$

• Hilft beim abschätzen, ob es eine Lösung geben kann, und in welchen Intervall sie liegen wird.

Betragskriterium II.134

Wenn $\int_{a}^{b}\left\vert f\left(x\right)\right\vert\ dx$ konvergiert $\Rightarrow$ Konvergenz von $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\ dx$ und es gilt

$$\left\vert\int_{a}^{b}f\left(x\right)\ dx\right\vert\leq\int_{a}^{b}\left\vert f\left(x\right)\right\vert\ dx$$