Der Differenzierbarkeitsbegriff II.219

Definition für $\dim\left(Bild\right)=1$ II.219

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R},\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right),x_{0}\in D$ ein innerer Punkt von $D$. $f$ heißt differenzierbar in $\vec{x}_{0}$, wenn es ein $\vec{c}\in\mathbb{R^{n}}$ und eine Funktion $r:U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)\rightarrow\mathbb{R}$ gibt mit

$$\lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}r\left(\vec{x}\right)=0$$

und

$$f\left(\vec{x}\right)=f\left(\vec{x}_{0}\right)+\vec{c}\left(\vec... ...c{x}_{0}\right)+r\left(\vec{x}\right)\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert$$

gilt. Dies entspricht einer linearen Approximierbarkeit von $f$.

• Wenn eine Funktion $f$ im inneren Punkt $x_{0}\in D$ differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.
• $f$ differenzierbar in $\vec{x}_{0}$ $\Rightarrow$ es existieren alle partiellen Ableitungen von $f$ in $\vec{x}_{0}$, und es gilt $\vec{c}=\mathrm{grad}f\left(\vec{x}_{0}\right)$
• Existieren alle partiellen Ableitungen $f_{x_{j}}\left(\vec{x}\right)$ und sind stetig in $\vec{x}_{0}$ $\Rightarrow$$f$ ist differenzierbar in $\vec{x}_{0}$
• Differenzierbar ist Erweiterung der Existenz des Gradienten um die Bedingung der Stetigkeit
• Gleichung der Tangentialebene:
  $x_{n+1}=f\left(\vec{x}_{0}\right)+\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$
  • Ebene befindet sich in einem Raum mit der Dimension $n+1$
  • Normalenvektor der Ebene: $\vec{n}\left(\vec{x}_{0}\right)=\left(f_{x_{1}}\left(\vec{x}_{0}\right),\ldots,f_{x_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right),-1\right)$

Funktionalmatrix oder Jacobimatrix II.223

Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ eine Funktion, $\vec{x}_{0}\in D$ ein innerer Punkt. $\vec{f}=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)$ heißt in $\vec{x}_{0}$ differenzierbar, falls alle Komponentenfunktionen $f_{j}$ differenzierbar sind.

$$\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right) = J_{\vec{f}}$$

$$= \left(\begin{array}{c} \nabla f_{1}\left(\vec{x}_{0}\right)\\ \vdots\\ \nabla f_{m}\left(\vec{x}_{0}\right)\end{array}\right)$$

$$= \left(\frac{\partial f_{k}\left(\vec{x}_{0}\right)}{\partial x_{j}}\right)_{{{k=1,\ldots,m\atop j=1,\ldots,n}}}$$

heißt Funktionalmatrix oder Jacobimatrix von $\vec{f}$ in $\vec{x}_{0}$.

• Zeilen der Jacobimatrix = Gradienten der Komponentenfunktionen.

Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktion $\vec{f}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$wenn:

$$\vec{f}\left(\vec{x}\right)=\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)+\frac... ...0}\right)+\vec{r}\left(\vec{x}\right)\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\right\Vert$$

Kettenregel II.225

Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$, $\vec{g}:\vec{f}\left(D\right)\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, $\vec{x}_{0}\in D$ innerer Punkt, $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\in\vec{f}\left(D\right)$ innerer Punkt. Sind $f$ in $\vec{x}_{0}$ und $\vec{g}$ in $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)$ differenzierbar, so ist die Verkettung $\vec{g}\circ\vec{f}$ in $\vec{x}_{0}$ differenzierbar mit

$$\frac{d\left(\vec{g}\circ\vec{f}\right)}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{... ...left(\vec{x}_{0}\right)\right)\frac{d\vec{f}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)$$