Lokale Extrema

Notwendige Bedingung für lokale Extrema II.238

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$ differenzierbar und besitzt $f$ in $D$ ein relatives Extrema in $\vec{x}_{0}$, dann gilt $\nabla f'\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$.

Quadratische Form / Definit II.239

Eine quadratische Form auf $\mathbb{R}^{n}$ ist eine Abbildung

$$Q_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}\; Q_{A}\left(\vec{x}\right)=\vec{x}^{T}A\vec{x}$$

für eine symmetrische $n\times n$-Matrix $A$.

$Q_{A}$ heißt positiv definit (bzw. negativ definit), wenn

$$\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)>0$$

(bzw. $\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)<0$) gilt.

$Q_{A}$ heißt indefinit, falls

$$\exists\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^{n},\vec{x},\vec{y}\neq\vec{0}:Q_{A}\left(\vec{x}\right)<0,Q_{A}\left(\vec{y}\right)>0$$

gilt.

• $\frac{dQ_{A}\left(\vec{x}\right)}{d\vec{x}}=2A\vec{x}$

Hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen II.240

Sei $D\subset\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ gehört zu Klasse $C^{2}\left(D\right)$. Im Punkt $\vec{x}_{0}\in D$ gelte $\nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$. Dann besitzt $f$ in $\vec{x}_{0}$ ein relatives Maximum (bzw. Minimum), falls die Hesse-Matrix $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ negativ definit (bzw. positiv definit) ist. Ist $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ indefinit, so kann $f$ in $\vec{x}_{0}$ keine Extremalstelle besitzen.

• $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ positiv (negativ) definit $\Leftrightarrow$ Alle Eigenwerte von $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ positiv (negativ) sind
• $H\left(\vec{x}_{0}\right)$ indefinit $\Leftrightarrow$ Es gibt sowohl positive, als auch negative Eigenwerte von $H\left(\vec{x}_{0}\right)$

Sonderfall für $D\subseteq\mathbb{R}^{2}$

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{2}\right)$ sei in Klasse $C^{2}\left(D\right)$ und es gelte $\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)=\vec{0}$. Dann gilt mit

$$d=\left(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right)$$

• Ist $d>0$ und $f_{xx}>0$ $\Rightarrow f$ hat relatives Minimum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$
• Ist $d>0$ und $f_{xx}<0$ $\Rightarrow f$ hat relatives Maximum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$
• Ist $d<0$ $\Rightarrow f$ hat kein Extremum an $\left(x_{0},y_{0}\right)$