Implizite Funktionen II.242

Extremwerte unter Nebenbedingungen / Lagrange-Multiplikation II.250

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, die Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$, $\vec{g}:D\rightarrow\mathbb{R}^{l}$ ($l$-Nebenbedingungsfunktionen zu Vektor zusammengefasst) mit $l<n$ seien in $C^{1}\left(D\right)$. Sei $\vec{x}_{0}\in D$ mit $\vec{g}\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{0}$ und $\textrm{Rang}\left(\frac{d\vec{g}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}_{0}\right)\right)=l$ (Rang maximal). Weiter sei $f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ein relatives Extremum der Menge $\left\{ f\left(\vec{x}\right)\vert\vec{x}\in D,\vec{g}\left(\vec{x}\right)=\vec{0}\right\}$ dann gibt es $l$-Lagrange Multiplikatoren $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{l}\in\mathbb{R}$, so dass

$$\forall k\in\left[1,n\right]:f_{x_{k}}\left(\vec{x}_{0}\right)+\sum_{j=1}^{l}\lambda_{j}\left(g_{j}\right)_{x_{k}}\left(\vec{x}_{0}\right)=0$$

(Also $\nabla L=\vec{0},$wobei $L=f\left(\vec{x}\right)+\sum_{j=1}^{l}\lambda_{j}g_{j}\left(\vec{x}\right)$)

Implizite Funktionen auf $\mathbb{R}^{2}$

Sei $F:D\rightarrow\mathbb{R}$ , ( $D\subseteq\mathbb{R}^{2}$ offen), stetig und $F\left(x_{0},y_{0}\right)=0$, weiter sei $F$ streng monoton wachsend (oder fallend) bezgl. $y$ (für jedes feste $x$). Dann gibt es ein Rechteck

$$R=I\times J=\left[x_{0}-\alpha_{0},x_{0}+\alpha_{0}\right]\times\left[y_{0}-\beta_{0},y_{0}+\beta_{0}\right]$$

und eine auf $I$ stetige Funktion $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ mit $F\left(x,g\left(x\right)\right)=0$ für $x\in I$, und $F\left(x,y\right)\neq0$ sonst auf $\mathbb{R}$.

Ist $F$ stetig differenzierbar aus $D$, so ist auch $g\left(x\right)$ stetig differenzierbar in $I$ mit

$$g'\left(x\right)=-\frac{F_{x}\left(x,g\left(x\right)\right)}{F_{y}\left(x,g\left(x\right)\right)}$$

Satz über implizite Funktionen II.247

Seien $D_{n}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und $D_{m}\subseteq\mathbb{R}^{m}$ offene Mengen. Die Funktionen $\vec{f}:D_{n}\times D_{m}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ gehören der Klasse $C_{1}\left(D_{n}\times D_{m}\right)$ an. Sei $\left(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0}\right)\in D_{n}\times D_{m}$ mit $\vec{f}\left(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0}\right)=\vec{0}$ und $\det\left(\left(f_{k}\right)_{y_{j}}\left(\vec{x}_{0},\vec{y}_{0}\right)\right)_{k,j=1\ldots,m}\neq0$ (Jacobi Matrix). Dann gibt es offene Umgebungen $U_{\varepsilon_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)$ und $U_{\varepsilon_{m}}\left(\vec{y}_{0}\right)$, so dass für jeden Punkt $\vec{x}\in U_{\varepsilon_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)$ genau ein $\vec{g}\left(\vec{x}\right)\in U_{\varepsilon_{m}}\left(\vec{y}_{0}\right)$ mit $\vec{f}\left(\vec{x},\vec{g}\left(\vec{x}\right)\right)=\vec{0}$ existiert.

• Die Ableitung von $\vec{g}\left(\vec{x}\right)$ lässt sich berechnen, indem man $\vec{f}\left(\vec{x},\vec{g}\left(\vec{x}\right)\right)$ mithilfe der Kettenregel ableitet, und dann nach $\vec{g}'\left(\vec{x}\right)$ umstellt.