Definition I.159

Sei $\mathbb{V}$ eine Menge und $\mathbb{K}$ ein Körper. Zu je zwei Elementen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus $\mathbb{V}$ gebe es genau ein Element $\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{V}$. Zu jedem $\lambda$ aus $\mathbb{K}$ und jedem Element $\vec{a}$ aus $\mathbb{V}$ gebe es genau ein Element $\lambda\vec{a}\in\mathbb{V}$. $\mathbb{V}$ heißt Vektorraum (VR) über $\mathbb{K}$, wenn die folgenden Grundgesetze gelten.

• Addition in $\mathbb{V}$
  • Kommutativgesetz
    $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
  • Assoziativgesetz
    $\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}$
  • Neutrales Element
    $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ und $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$
  • Inverses Element
    $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$
• Multiplikation mit Körperelementen
  • Neutrales Element
    $1\vec{a}=\vec{a}$
  • $\lambda\left(\mu\vec{a}\right)=\left(\lambda\mu\right)\vec{a}$
  • $\lambda\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$
  • $\left(\lambda+\mu\right)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$

Untervektorraum I.160

$\mathbb{U}\subset\mathbb{V}$ heißt Untervektorraum (UVR) vom $\mathbb{V}$, wenn für $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{U},\lambda\in\mathbb{K}$:

$$\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{U},\lambda\vec{a}\in\mathbb{U}$$

• Untervektorraumkriterium
  $\forall_{\mathbb{U}}^{\vec{a},\vec{b}}:\forall_{\mathbb{K}}^{\lambda,\mu}:\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\in\mathbb{U}$
  oder
  $\forall_{\mathbb{U}}^{\vec{a},\vec{b}}:\forall_{\mathbb{K}}^{\lambda}:\lambda\vec{a}\in\mathbb{U}\wedge\vec{a}+\vec{b}\in\mathbb{U}$
• Durchschnitt
  $\mathbb{U}_{1}\cap\mathbb{U}_{2}\subset\mathbb{V}$
• Vereinigung nicht UVR!!!
  $\mathbb{U}_{1}\cup\mathbb{U}_{2}\nsubseteq\mathbb{V}$
• Summe
  $\mathbb{U}_{1}+\mathbb{U}_{2}=\left\{ \vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}\vert\vec{a}_{1}\in\mathbb{U}_{1},\vec{a}_{2}\in\mathbb{U}_{2}\right\} \subset\mathbb{V}$

Linearkombination I.161

$$\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}=\lambda_{1}\vec{a}_{1}+\lambda_{2}\vec{a}_{2}+\ldots+\lambda_{n}\vec{a}_{n}$$

$\vec{b}$ ist eine Linearkombination aus $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$.

Triviale Darstellung des Nullvektors I.162

$$\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}=\vec{0},\quad\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}=0$$

Lineare (Un-)Abhängigkeit I.163

Die Vektoren $\vec{a}_{j}\in\mathbb{V},j=1,\ldots,n$ heißen linear unabhängig wenn sich aus ihnen nur mit der trivialen Darstellung der Nullvektor darstellen lässt. Ansonsten sind sie Linear abhängig.

Bei linear abhängigen Vektoren lässt sich mindestens ein Vektor $\vec{a}_{j}$ als Linearkombination der restlichen Darstellen:

$$\vec{a}_{j_{0}} = -\sum_{j=1,j\neq j_{0}}^{n}\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j_{0}}}\vec{a}_{j}$$

• Beweis durch Lösen von lin. Gleichungssystem. Wenn eindeutig möglich $\Rightarrow$ linear unabhängig.
• Anzahl der Vektoren muss $\leq\dim\left(\mathbb{U}\right)$ sein, sonst sind sie zwangsläufig lin. abhängig.
• $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ linear unabhängig $\Leftrightarrow$ $\det\left(\vec{b}_{1}\vert\ldots\vert\vec{b}_{n}\right)\neq0$

Lineare Hülle I.165

Menge aller Linearkombinationen aus gegebenen Vektoren.

$$\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\rangle =\left\{... ...\lambda_{j}\vec{a}_{j}\vert\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{K}\right\}$$

• Die Lineare Hülle bildet einen Untervektorraum von $\mathbb{V}$
• Wenn $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ linear unabhängig, und $\vec{b}\in\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n} \right\rangle$ dann ist $\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}$ eindeutig.
• Direkte Summe
  $\mathbb{U}=\mathbb{U}_{1}\bigoplus\mathbb{U}_{2}\ldots\bigoplus\mathbb{U}_{n}$
  Wenn die Untervektorräume linear unabhängig sind