Endlich-dimensionale Vektorräume I.166

Erzeugendensystem I.166

Wenn $\mathbb{U}=\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\rangle$ bilden $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\mathbb{U}$.

• Alle Basen sind autom. auch Erzeugendensystem.

Basis I.166

Wenn $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}$ linear unabhängig sind, und ein Erzeugendensystem von $\mathbb{U}$ sind bilden sie eine Basis von $\mathbb{U}$.

• Ein Vektor lässt sich in einer Basis eindeutig darstellen
  $\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\vec{a}_{j}$
• Es kann unterschiedliche Basen von $\mathbb{U}$ geben.
• Alle Basen haben die gleiche Anzahl von Vektoren.
• Wenn die Anzahl der Vektoren $=\dim\left(\mathbb{U}\right)$ und sie lin. unabhängig sind, sind sie autom. ein Basis.

Kanonische Basis / Standardbasis I.169

$$\vec{e_{j}^{(n)}}=(0,\ldots,\underbrace{1}_{j\textrm{-te Stelle}},\ldots,0),\quad j=1,\ldots,n$$

• Die Standardbasen sind linear unabhängig
• Sie erzeugen $\mathbb{K}^{n}$
• ist eine Orthonormale Basis (siehe sub:Orthogonalsystem)

Dimension I.167

Die Anzahl von Vektoren von einer Basis wird Dimension genannt: $\dim\left(\mathbb{U}\right)$

Nullraum I.169

$\mathbb{U}=\left\{ \vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$ ist ein trivialer Untervektorraum eines jeden Vektorraumes der Dimension 0.

Linearer Teilraum I.169

$\vec{a}$ sei ein fester Vektor

$$\left\{ \vec{a}+\vec{b}\vert\vec{b}\in\mathbb{U}\right\}$$

wird als Linearer Teilraum der $\dim\left(\mathbb{U}\right)=n$ bezeichnet.

Darstellung von Vektorräumen I.169

Die Menge aller geordneten n-Tupel(geordnete Menge an Zahlen) von Skalaren aus $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{K}=\mathbb{C}$

$$\mathbb{K}^{n}=\left\{ \left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\vert a_{j}\in\mathbb{K},j=1,\ldots,n\right\}$$

versehen mit der Addition

$$\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)+\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1},\ldots,a_{n}+b_{n}\right)$$

und der Multiplikation mit Skalaren aus $\mathbb{K}$

$$\lambda\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)=\left(\lambda a_{1},\ldots,\lambda a_{n}\right)$$

bilden einen n-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{K}$. Dieser wird mit $\mathbb{K}^{n}$ abgekürzt.