Entwicklungslemma

Sei $c\in\mathbb{C},r>0,K_{r}=\left\{ z\in\mathbb{C}\vert\left\vert z-c\right\vert=r\right\}$. Sei $\varphi:K_{r}\rightarrow\mathbb{C}$ stetig. Für $z\in B_{r}\left(c\right)$ setze

$$f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=r}\frac{\varphi\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi$$

Dann ist $f$ holomorph auf $B_{r}\left(c\right)$, und

$$f\left(z\right) = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$$

$$a_{k} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=r}\frac{\varphi\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi$$