Entwicklungssatz von Laurent

Sei $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}\left(c\right)\right)$, $f_{-}$ und $f_{+}$ wie in sub:Haupt-und-Nebenteil mit $\lim_{z\rightarrow\infty}f_{-}\left(z\right)=0$. Dann gilt

$$f_{+}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$$

auf $K_{r,s}^{+}\left(c\right)$ und

$$f_{-}\left(z\right)=\sum_{k=-1}^{-\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$$

auf $K_{r,s}^{-}\left(c\right)$ oder kurz

$$f\left(z\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$$

Laurent-Reihe für $f$ mit Entwicklungspunkt $c$.

Beide Reihen konvergieren gleichmäßig auf jeder kompakten Menge $K$, und

$$a_{k}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=t}\frac{f\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi$$

für alle $k\in\mathbb{Z}$.

• Verallgemeinerung von Taylorreihe (siehe sub:Cauchy-Taylor-Entwicklungssatz)