Satz von Rouche

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ sei nullhomolog in $\Omega$ und einfach geschlossen. Weiter seien $f,g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ mit $N\left(g\right)\cup N\left(f\right)\subseteq\textrm{Inn}\left(\gamma\right)$ endlich.

Falls gilt

$$\left\vert f\left(\gamma\left(t\right)\right)-g\left(\gamma\left(... ...ght)\right)\right\vert<\left\vert g\left(\gamma\left(t\right)\right)\right\vert$$

für alle $t\in\left[a,b\right]$ so gilt

$$\sum_{c\in N\left(f\right)}n_{c}\left(f\right)=\sum_{c\in N\left(g\right)}n_{c}\left(g\right)$$

• Summe der alg. Vielfachheiten ist gleich (die Funktionen haben gleichviele Nullstellen).