Abbildungen

Eine Relation $f\subseteq Y\times X$ heißt Abbildung oder Funktion falls es zu jedem $x\in X$genau ein $y\in Y$ gibt mit $\left(y,x\right)\in f$. Schreibe $f\left(x\right)=y$ falls $yfx$. Schreibe dafür kurz

$$f:X \rightarrow Y$$

$$x \mapsto y=f\left(x\right)$$

• Ist $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung, und ist $A\subseteq X$, so ist $f\left(A\right)=\left\{ f\left(a\right)\vert a\in A\right\} \subseteq Y$ das $f$-Bild von $A$. Ist $B\subseteq Y$, so ist $f^{-1}\left(B\right)=\left\{ x\in X\vert f\left(x\right)\in B\right\} \subseteq X$ das $f$-Urbild von $B$.
• Sei $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Für $A\subseteq X$ definiere $f\vert _{A}:A\rightarrow Y$ mit $a\mapsto f\left(a\right)$ die Einschränkung von $f$ auf $A$.
• Es gilt für $B_{1},B_{2}\subseteq Y$
  $f^{-1}\left(B_{1}\right)\cap f^{-1}\left(B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\cap B_{2}\right)$
  $f^{-1}\left(B_{1}\right)\cup f^{-1}\left(B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\cup B_{2}\right)$
  $f^{-1}\left(B_{1}^{C}\right)=\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)^{C}$

Familie

Eine Famile $k$ ist eine Funktion die

$$n\mapsto k_{n}$$

$n$ ist dabei ein Element aus der Indexmenge, die alle möglichen $k_{n}$ sozusagen durchindiziert.

Komposition

Sind $R\subseteq Z\times Y$ und $S\subseteq Y\times X$ Relationen, setze $R\circ S\subseteq Z\times X$ durch $R\circ S=\left\{ \left(z,x\right)\in Z\times X\vert\exists y\in Y:zRy\wedge ySx\right\}$.

Speziell: sind $f:Y\rightarrow Z$ und $g:X\rightarrow Y$ Abbildungen, so ist $f\circ g$ die Abbildung $x\mapsto f\left(g\left(x\right)\right)$, lies ``$f$ nach $g$''.

• Kompositionen sind assoziativ, d.h. es muss nicht geklammert werden.

injektiv, surjektiv, bijektiv

Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ heißt:

surjektiv

falls es zu jedem $y\in Y$ ein $x\in X$ mit $f\left(x\right)=y$ gibt

• $\exists g:Y\rightarrow X:f\circ g=id_{Y}$

injektiv

falls $f\left(x\right)=f\left(y\right)\Rightarrow x=y$ bzw. $x\neq y\Rightarrow f\left(x\right)\neq f\left(y\right)$

• $\exists g:Y\rightarrow X:g\circ f=id_{X}$
• Verknüpfung von injektiven Funktionen ist wieder injektiv

bijektiv

falls sie surjektiv und injektiv ist, d.h. falls es zu jedem $y\in Y$ genau ein $x\in X$ gibt mit $f\left(x\right)=y$

• $\exists g:Y\rightarrow X:f\circ g=id_{Y}\wedge g\circ f=id_{X}$