angeordneter Ring / Körper

Ein Ring oder Körper $\left(R,+,*,0,1\right)$ heißt angeordneter Ring (entspr. Ring mit $1$ aus LA) / Körper, falls ``$<$'' eine (totale) Ordnung auf $R$ ist, schreibe $\left(R,+,*,0,1,<\right),$ falls folgendes für alle $x,y,z\in R$ gilt:

1. $\left(OR_{1}\right)\;$Wenn $x<y$, so auch $x+z<y+z$
2. $\left(OR_{2}\right)\;$Wenn $x<y$ und $0<z$, so auch $x*z<y*z$

• Jeder angeordnete Ring/Körper hat unendlich viele Elemente
• negativ * negativ = positiv
• negativ * positiv = negativ
• $0<x^{2}$ falls $x\neq0$
• $0<1$
• Bernoulli'sche Ungleichung:
  $\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\geq-1:\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx$

Vereinbarungen

1. Schreibe $x\leq y$ falls $x<y\vee x=y$
2. Schreibe $x>y$ falls $y<x$
3. Schreibe $x\geq y$ falls $x>y\vee x=y$
4. $x$ heißt positiv falls $x>0$
5. $x$ heißt nicht positiv falls $x\leq0$
6. $x$ heißt negativ falls $x<0$
7. $x$ heißt nicht negativ falls $x\geq0$