Reale Gase

Van der Waalsgleichung

$$p_{\textrm{eff}}V_{\textrm{eff}}=nRT$$

Hierbei werden die Eigenvolumina in $V_{\textrm{eff}}$ und die Wechselwirkungskräfte der Teilchen $p_{\textrm{eff}}$.

$$V_{\textrm{eff}} = V-nb$$

$$p_{\textrm{eff}} = p+a\frac{n^{2}}{V^{2}}$$

mit $a,b$ Materialkonstanten

$$\left(p+a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)\left(V-nb\right)=nRT=Nk_{B}T$$

Kritische Punkte

Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch wie folgt umformen:

$$V^{3}-V^{2}\left(nb+\frac{nRT}{p}\right)+V\frac{an^{2}}{p}-ab\frac{n^{3}}{p}=0$$

Diese gleichung hat für $V>V_{c}$ nur eine reelle Lösung.

Das Tripel $\left(p_{c},V_{c},T_{c}\right)$ nennt sich Kritischer Punkt. Es gilt:

$$\left(V-V\right)^{3}=V^{3}-3V^{2}V_{c}+3VV_{c}^{2}=0$$

durch Koeffizientenvegleich erhält man:

$$V_{c} = 3bn$$

$$p_{c} = \frac{a}{27b^{2}}$$

$$RT_{c} = \frac{8a}{27b}$$

$$Z_{c} = \frac{p_{c}V_{c}}{nRT_{c}}=\frac{3}{8}$$

für reale Gase ist $Z_{c}<\frac{3}{8}$. Beim idealen Gas ist $Z_{c}=1$.

Reduzierte Größen

Mit Hilfe reduzierter Größen lässt sich die Vanderwaals Gleichung wie folgt umschreiben:

$$\pi = \frac{p}{p_{c}}$$

$$v = \frac{V}{V_{c}}$$

$$t = \frac{T}{T_{c}}$$

$$\left(\pi+\frac{3}{V^{2}}\right)\left(3V^{2}-1\right)=8t$$

Maxwell Konstruktion

Im Bereich unterhalb von $p_{c}$ wird die Kurve ein Stückweit durch eine Gerade parallel zu $V$ Achse ersetzt, und zwar so, das die Fläche zwischen den beiden Kurven im Bereich zwischen den Schnittpunkten gleich 0 ist.

Viralentwicklung

Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch schreiben als

$$p=\frac{nRT}{V}\left(1+B_{1}\left(\frac{N}{V}\right)+B_{2}\left(\frac{N}{V}\right)^{2}+\ldots\right)$$

mit den Viralkoeffizienten $B_{i}$ diese sind für die Van der Waalsgleichung

$$B_{1} = \frac{b}{N_{a}}-\frac{a}{N_{a}^{2}k_{b}T}$$

$$B_{i} = \left(\frac{b}{N_{a}}\right)^{i}\textrm{für }i\ge2$$