Integration von Zustands-DGLn mit Unstetigkeiten

Ausgangsproblem

$\dot{x}=f\left(x,u,t\right)$

Annahme

• $f\left(x,u,t\right)$ sei abschnittsweise mehrfach stetig differenzierbar
• An den Übergängen der Abschnitte ist $f$ möglicherweise unstetig, bzw. nicht häufig genug stetig differenzierbar
• Die Übergänge werden durch formulierbare Ereignisse (events) ausgelöst, die zustandsabhängig oder zeitgesteuert sein können

Schaltfunktion

Die (Um-) Schaltpunkte (events) $t_{s,i},\: i=1,\ldots,n_{S}$ werden im Allgemeinen als (einfache) Nullstellen reellwertiger Schaltfunktionen

$$q_{k}\left(x\left(t_{s,i}\right),t_{s,i}\right)=0,\; k\in\left\{ 1,\ldots,n_{q}\right\}$$

charakterisiert. Bei der numerischen Integration müssen nun die Vorzeichen der Schaltunktionen beobachtet werden, d.h.

• wenn zwischen der letzten berechneten Näherung $x_{k}=\tilde{x}\left(t_{k}\right)$ und der neuen Näherung $x_{k+1}=\tilde{x}\left(t_{k+1}\right)$ ein Vorzeichenwechsel in (mind.) einer Schaltfunktion stattfindet,
• muss der dazwischenliegende erste Schaltzeitpunkt bestimmt werden (und zwar in der Genauigkeitsanforderung des Benutzers und der Ordnung des Verfahrens implizit gegebenen Genauigkeit)
  • Kompination von numerischer Integration und (eindimensionaler) Nullstellensuche
• Vorraussetzung: Schrittweite $h_{k}$ klein genug, so dass kein doppelter Vorzeichenwechsel in derselben Schaltfunktion stattfindet.