Numerische Lösung der nichtlinearen Zustandsdifferentialgleichungen

Einleitung

Bahn

(Pfad, Weg) kontinuierlich, räumliche Punktfolge

Trajektorie

Bahn mit ``zeitlichen Beschränkungen''

• z.B. außer Position auch Geschwindigkeit (und Beschleunigung) an jedem Punkt der Bahn (evtl. Impliziet über $t$ Achse) gegeben

Einsatzgebiet

der numerischen Lösung überall dort wo nichtlinearitäten vorliegen bzw. keine expliziete Lösung gefunden wird (werden kann)

Klassen Numerischer Integrationsverfahren

jeweils explizit und implizit:

• Einschrittverfahren - nur diese sind hier erwähnt
• Mehrschrittverfahren
• Extrapolationsverfahren

Kriterien für Integratorenwahl

• Rechenaufwand (Berechnungseffizienz)
• Genauigkeit (Approximationsfehler)
• Eignung für steife Systeme (Stabilität). Bei steifen DGL impliziete Verfahren bevorzugen!
• Implementierungsaufwand (Eigenprogrammierung oder Verwendung einer Bibliothek)

Ordnung des Verfahrens ($n$)

• Approximationsfehler bei gegebener Schrittweite $h_{k}$ für Methoden höhere Ordnung ist sehr viel kleiner: $O\left(h^{n}\right)$
• Berechnungsaufwand dafür höher: $n$ Funktionsauswertungen von $f$
• Rechte Seite muss mindesten $n$ mal stetig differenzierbar sein.
  • Wenn es nur $m<n$ mal stetig differenzierbar ist bleibt der Berechnungsaufwand gleich, aber der Approximationsfehler liegt nur noch bei $O\left(h^{m}\right)$
• Diese Genauigkeitsaussagen gelten nicht für sehr große oder sehr kleine Schrittweiten. Bei sehr kleinen dominieren Rundungsfehler.

Einschrittverfahren

Gegeben

$x_{k}\approx x\left(t_{k}\right)$

Gesucht

$x_{k+1}\approx x\left(t_{k+1}\right)$

Ansatz

für Einschrittverfahren

$$x_{k+1}=x_{k}+h\cdot\Phi\left(t_{k},x_{k},x_{k+1},h,f\right)$$

Konsistenzbedingung

für Einschrittverfahren

$$\lim_{h\rightarrow0}\Phi\left(t_{k},x_{k},x_{k+1},h,f\right)=f\left(x_{k}\right)$$

Explizites Euler Verfahren

$$x_{k+1}=x_{k}+h\cdot f_{k}$$

• Rechenaufwand gering, nur 1 Auswertung pro Schritt. Für Echtzeitsysteme interessant
• Genauigkeit: Approximationsfehler $O\left(h^{1}\right)$
  • Für hohe Genauigkeiten kleine Schrittweite nötig $\Rightarrow$ Stabilitätsprobleme
• Schrittweite $h=\Delta t$
• Gesamtfehler $\varepsilon_{k}=\left\vert x_{k}-x\left(k\cdot h\right)\right\vert$
  • Bei zu kleiner Schrittweite dominieren Rundungsfehler
  • Bei zu großer Schrittweite dominieren Einzelschritt- und Fortpfanzungsfehler
  • $\Rightarrow$ Notwendigkeit für Adaptive Schrittweitensteuerung
• Einzelschritt- und Fortpflanzungsfehler
  $$\varepsilon_{k}'\le\sum_{i=1}^{k}\varepsilon_{i}^{E}+\sum_{i=1}^{k-1}\varepsilon_{i}^{F}$$
  • $\varepsilon_{i}^{E}$ Einzelschrittfehler
  • $\varepsilon_{i}^{E}$ Fortpflanzungsfehler

Implizites Euler Verfahren

$$x_{k+1}=x_{k}+h\cdot f_{k+1}$$

• Ein Verfahrensschritt erfordert die (näherungsweise) Lösung der nichtlinearen Gleichung
  $$0=x_{k+1}-x_{k}-h_{k}\cdot f\left(x_{k+1}\right)$$
  nach $x_{k+1}$
• Rechenaufwand: sehr hoch
• Genauigkeit: Approximatinsfehler $O\left(h^{1}\right)$
  • Für hohe Genauigkeit kleine Schrittweite nötig, aber bessere Stabilitätseigenschaften als explizites Euler Verfahren

Heun Verfahren

• Ist ein Prädiktor-Korrektor Verfahren
  • Prädiktor Schritt:
    $$x_{k+1}^{P}=x_{k}+h_{k}\cdot f_{k}$$

  • Kottektor Schritt: Mittelung des Gradienten
    $$x_{k+1}=x_{k}+h_{k}\cdot\frac{1}{2}\left(f_{k}+f\left(x_{k+1}^{P}\right)\right)$$

• Insgesamt:
  

  $$s_{1} = f\left(x_{k}\right)$$

  $$s_{2} = f\left(x_{k}+h_{k}\cdot s_{1}\right)$$

  $$x_{k+1} = x_{k}+\frac{h_{k}}{2}\left(s_{1}+s_{2}\right)$$

  
  

• Ist ein zweistufiges Einzelschrittverfahren - Rechenaufwand zwei Funktionsauswertungen von $f$
• Genauigkeit: Approximationsfehler $O\left(h^{2}\right)$
  • Heun Verfahren ist $2.$ Ordnung

Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

Allgemeiner Ansatz

$$s_{1} = f\left(x_{k}\right)$$

$$s_{2} = f\left(x_{k}+h\cdot\alpha_{1}\cdot s_{1}\right)$$

$$s_{3} = f\left(x_{k}+h\cdot\beta_{1}\cdot s_{1}+h\cdot\alpha_{2}\cdot s_{2}\right)$$

$$s_{4} = f\left(x_{k}+h\cdot\gamma_{1}\cdot s_{1}+h\cdot\beta_{2}\cdot s_{2}+h\cdot\alpha_{3}\cdot s_{3}\right)$$

$$x_{k+1} = x_{k}+h\cdot\underbrace{\left(\delta_{1}\cdot s_{1}+\delta_{2}\cdot s_{2}+\delta_{3}\cdot s_{3}+\delta_{4}\cdot s_{4}\right)}_{\Phi}$$

man versucht nun die unbekannten Koeffizienten

$$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\gamma_{1},\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3},\delta_{4}$$

so zu bestimmen, dass

• die Konsistenzbedingung
  $$\lim_{h\rightarrow0}\Phi\left(t_{k},x_{k},x_{k+1},h,f\right)=f\left(x_{k}\right)$$
  erfüllt ist:
  $$\Rightarrow\delta_{1}+\delta_{2}+\delta_{3}+\delta_{4}=1$$

• der Approximationsfehler möglichst klein wird (d.h. $O\left(h^{4}\right)$

klassisches RK-Verfahren 4. Ordnung

$$s_{1} = f\left(x_{k}\right)$$

$$s_{2} = f\left(x_{k}+\frac{h}{2}\cdot s_{1}\right)$$

$$s_{3} = f\left(x_{k}+\frac{h}{2}\cdot s_{2}\right)$$

$$s_{4} = f\left(x_{k}+h\cdot s_{3}\right)$$

$$x_{k+1} = x_{k}+\frac{h}{6}\cdot\left(s_{1}+2\cdot s_{2}+2\cdot s_{3}+s_{4}\right)$$

• Rechenaufwand: vier Auswertungen von $f$
• Genauigkeit: Approximationsfehler $O\left(h^{4}\right)$

Schrittweitensteuerung

Konstante Schrittweite $h_{k}$

• ungenau, wenn gesuchte Lösung sich lokal sehr stark ändert
• ineffizient, wenn gesuchte Lösung sich lokal sehr wenig ändert

Idee der Schrittweitensteuerung

• Wahl von $h_{k}$ ``so groß wie möglich'' und ``so klein wie nötig'' und das neu von Schritt zu Schritt
• Wahl von $h_{k},$ so dass globaler Approximationsfehlers nach einem Schritt unterhalb einer Fehlerschranke liegt

Einschrittverfahren der Ordnung $p$

• Berechnung von $2$ Näherungen für $x_{k+1}$: einmal für Schrittweite $h_{k}$ und einmal für Schrittweite $\frac{h_{k}}{2}$
• Daraus Schätzung des lokalen Fehlers
• Anpassung von $h_{k}$ so dass lokale Fehlerschätzung unter Schranke liegt.
• Aufwand: $3p$ Funktionsauswertungen

zwei Verfahren unterschiedlicher Ordnung

• z.B. $p$ und $p+1$
• Berechnung von $2$ Näherungen für $x_{k+1}$ für dieselbe Schrittweite $h_{k}$
• Bei geeigneter ``Einbettung'' der beiden Verfahren, z.B. Runge-Kutta-Verfahren 4. und 5. Ordnung zusammen nur $p+1$ Funktionsauswertungen nötig
• Ansatz viel effizienter als ``Einschrittverfahren der Ordnung $p$''

Klassifikation zeitkontinuierlicher Simulationswerkzeuge

Level 0

• Direkte Programmierung
  • Fortran
  • C
  • Pascal
  • Matlab

Level 1

• Simulationssprachen
  • ASCL
  • VHDL
  • Dare-P
  • Desire
• Simulationsframeworks
  • Simulink
  • C++ Klassenbibliothek

Level 2

• Graphische Modellierung
  • Simulink
  • WorkingModel
  • Aspen
  • Stella
• Spezialsimulatoren
  • KSIM

Level 3

• Multidisziplinäre Modellgenerierung
  • Modellica
  • VHDL-A