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Subsections

Numerische Lösung der nichtlinearen Zustandsdifferentialgleichungen

Einleitung

Bahn
(Pfad, Weg) kontinuierlich, räumliche Punktfolge
Trajektorie
Bahn mit ``zeitlichen Beschränkungen''
Einsatzgebiet
der numerischen Lösung überall dort wo nichtlinearitäten vorliegen bzw. keine expliziete Lösung gefunden wird (werden kann)


Klassen Numerischer Integrationsverfahren

jeweils explizit und implizit:


Kriterien für Integratorenwahl


Ordnung des Verfahrens ($ n$)


Einschrittverfahren

Gegeben
$ x_{k}\approx x\left(t_{k}\right)$
Gesucht
$ x_{k+1}\approx x\left(t_{k+1}\right)$
Ansatz
für Einschrittverfahren

$\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+h\cdot\Phi\left(t_{k},x_{k},x_{k+1},h,f\right)$

Konsistenzbedingung
für Einschrittverfahren

$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\Phi\left(t_{k},x_{k},x_{k+1},h,f\right)=f\left(x_{k}\right)$


Explizites Euler Verfahren

$\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+h\cdot f_{k}$


Implizites Euler Verfahren

$\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+h\cdot f_{k+1}$

Heun Verfahren

Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

Allgemeiner Ansatz


$\displaystyle s_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}\right)$  
$\displaystyle s_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}+h\cdot\alpha_{1}\cdot s_{1}\right)$  
$\displaystyle s_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}+h\cdot\beta_{1}\cdot s_{1}+h\cdot\alpha_{2}\cdot s_{2}\right)$  
$\displaystyle s_{4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}+h\cdot\gamma_{1}\cdot s_{1}+h\cdot\beta_{2}\cdot s_{2}+h\cdot\alpha_{3}\cdot s_{3}\right)$  
$\displaystyle x_{k+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{k}+h\cdot\underbrace{\left(\delta_{1}\cdot s_{1}+\delta_{2}\cdot s_{2}+\delta_{3}\cdot s_{3}+\delta_{4}\cdot s_{4}\right)}_{\Phi}$  

man versucht nun die unbekannten Koeffizienten

$\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\gamma_{1},\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3},\delta_{4}$

so zu bestimmen, dass

klassisches RK-Verfahren 4. Ordnung


$\displaystyle s_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}\right)$  
$\displaystyle s_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}+\frac{h}{2}\cdot s_{1}\right)$  
$\displaystyle s_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}+\frac{h}{2}\cdot s_{2}\right)$  
$\displaystyle s_{4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{k}+h\cdot s_{3}\right)$  
$\displaystyle x_{k+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{k}+\frac{h}{6}\cdot\left(s_{1}+2\cdot s_{2}+2\cdot s_{3}+s_{4}\right)$  


Schrittweitensteuerung

Konstante Schrittweite $ h_{k}$

Idee der Schrittweitensteuerung

Einschrittverfahren der Ordnung $ p$

zwei Verfahren unterschiedlicher Ordnung

Klassifikation zeitkontinuierlicher Simulationswerkzeuge

Level 0

Level 1

Level 2

Level 3


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Marco Möller 17:20:55 24.10.2005