Stoss

Impulserhaltung

$\vec{p}_{1}=-\vec{p}_{2}$, $\vec{p}_{1}'=-\vec{p}_{2}'$

• gilt im Schwerpunktsystem

Energieerhaltung

$\frac{\vec{p}_{1}}{2m_{1}}+\frac{\vec{p}_{2}}{2m_{2}}=\frac{\vec{p}_{1}'}{2m_{1}}+\frac{\vec{p}_{2}'}{2m_{2}}+Q$

• $Q$ ist die im Stossprozess ``verlorene'' Energie
• gilt sowohl im Schwerpunkt als auch im Laborsystem mit dem selben $Q$
• 
  

  $$\frac{\vec{p}_{1}^{2}}{2\mu} = \frac{\vec{p'}_{1}^{2}}{2\mu}+Q$$

  $$\frac{\vec{p}_{2}^{2}}{2\mu} = \frac{\vec{p'}_{2}^{2}}{2\mu}+Q$$

  
  

Elastisch

$Q=0$

Inelastisch

$Q>0$

Umwandlung von Energie

$Q<0$

Richtung

ist im Schwerpunktsystem nur soweit festgelegt, als das sie sowol vor, als auch nach dem Stoss entgegengesetzt sind.

Elastischer Stoss eines ruhenden Teilchens

Begebenheiten

$\vec{p}_{1}=\vec{P}$, $\vec{p}_{2}=\vec{0}$, $Q=0$

Streuwinkel

$\tan\theta=\frac{\sin\tilde{\theta}}{\cos\tilde{\theta}+\gamma}$

• $\gamma=\frac{m_{1}}{m_{2}}$
• $\tilde{\theta}$ Winkel um den der Impulsvektor $\vec{p}_{1}$ im Schwerpunktsystem verdreht wurde durch den Stoss
• $\theta$ Winkel um den der Impulsvektor $\vec{p}_{1}$ im Laborsystem verdreht wurde durch den Stoss

Vorwärtsstreuung

$m_{1}>m_{2}$, $\gamma>1$

• $\sin\left(\theta_{max}\right)=\frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{1}{\gamma}<1$
• $\theta_{max}$ ist der maximale Winkel um den der Vektor $\vec{p}_{1}$ im Laborsystem verdreht werden kann
• Streuung erfolgt in einem Kegel mit diesem Öffnungswinkel

Beliebige Streuung

$m_{2}>m_{1}$, $\gamma<1$

• alle Winkel sind möglich
• z.B. auch Reflexion

Identische Massen

$m_{1}=m_{2}$, $\gamma=1$

• Winkel zwischen $\vec{p}_{1}'$ und $\vec{p}_{2}'$ ist nach dem Stoss immer $90°$
• Ausnahmen:
  • Teilchen Tauschen die Rollen, d.h. Teilchen 1 bleibt liegen und Teilchen 2 fliegt in die gleiche Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit weiter
  • Teilchen 1 wechselwirkt einfach nicht und es fliegt ungestört weiter / kein stoss / kein Rollentausch
• $\theta_{max}=\pm180°$

Energietransfer

$\eta=\frac{T_{2}'}{T_{1}}=4\frac{\mu}{M}=4\frac{m_{1}m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}$

• $T_{1}$ kinetische Energie von Teilchen 1 vor dem Stoss
• $T_{2}'$ kinetische Energie von Teilchen 2 nach dem Stoss
• $m_{1}=m_{2}\rightarrow\eta=1$

Streuung durch Potential im Schwerpunktsystem

Streuzentrum

ist Ausgangspunkt eines Potentialfeldes $V\left(\vec{r}\right)=V\left(r\right)$ das nur vom Abstand abhängt. Dieses verursacht die Ablenkung des annahenden Teilchens

Stossparameter

$b$

• gibt an, um welche Distanz das Teilchen bei unabgelenkter Bahn am Streuzentrum vorbeifliegen würde
• $db$ ist eine Infinitesimale Änderung von $b$
  • dies bewirkt eine Änderung $d\Omega$ im Raumwinkel $\Omega$ der vom Strahl durchflogen wird
  • es bewirkt eine Vergrößerung der Eintrefffläche um $d\sigma$ (=Kreis mit dem Radius $b+db$ - Kreis mit dem Radius $b$)
• $\frac{db}{d\theta}=\frac{1}{\sqrt{2\mu E}}\frac{dl}{d\theta}$

Strahl

von Teilchen

• Alle haben gleiche Masse $\mu$
• Alle haben gleiche kinetische Energie $\Rightarrow$ $\vec{p}$ ist gleich

Strahlintensität

$n=\frac{\textrm{Zahl der einlaufenden Teilchen}}{\textrm{Flächenelement}\cdot\textrm{Zeit}}$

Gestreute Teilchen

$dN=\frac{\textrm{Zahl der gestreuten Teilchen in }d\Omega}{\textrm{Zeit}}$

Wirkungsquerschnitt

$\frac{d\sigma}{d\Omega}\left(\theta\right)=-\frac{b}{\sin\theta}\frac{db}{d\theta}=\frac{l}{2\mu E}\left\vert\frac{dl}{d\theta}\right\vert>0$

• $d\sigma=\frac{dN}{n}=2\pi b db$
• Hängt für $V\left(\vec{r}\right)=V\left(r\right)$ nur von $\theta$ ab!
• Raumwinkel $d\Omega=2\pi\sin\theta d\theta$
• $\sigma_{total}=\int d\sigma=\int d\Omega\frac{d\sigma}{d\Omega}=2\pi\int_{0}^{\pi}d\theta\sin\theta\frac{d\sigma}{d\theta}\left(\theta\right)$

Ablenkwinkel

$\theta=\pi-2\int_{r_{min}}^{\infty}dr\frac{b}{r^{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{b^{... ..._{min}}^{\infty}dr\frac{1}{r^{2}\sqrt{E-\frac{l^{2}}{2mr^{2}}-V\left(r\right)}}$

• Ablenkwinkel des Strahls von negativ zu positiv unendlich (in der Zeit $t$) gemessen.

Drehimpuls

$l=b\sqrt{2\mu E}$

Energie

$E=\frac{\mu}{2}v_{\infty}^{2}$

Steuung harte Kugeln

Potential

$V\left(r\right)=\begin{cases} 0 & r>R\\ \infty & r\le R\end{cases}$

isotrope Streuung

$\frac{d\sigma}{d\Omega}\left(\theta\right)=\frac{R^{2}}{4}$

• isotrop $\Leftrightarrow$ hängt nicht mehr von $\theta$ ab
• $\sigma_{total}=\pi R^{2}$

Rutherford Streuung

Potential

$V\left(r\right)=-\frac{\kappa}{r}$

• z.B. Gravitation oder Coulomb

Stossparameter

$b\left(\theta\right)=\frac{\kappa}{2E}\cot\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Wirkungsquerschnitt

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}\left\vert\frac{db}{d\theta}\right... ...eft(\frac{\kappa}{2E}\right)^{2}\frac{1}{\sin^{4}\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

• gilt im Schwerpunktsystem
• $\sigma_{total}=\infty$ ist ein Problem, tritt aber in der Realität nicht auf, da Ladungen immer abgeschirmt sind
  $$V\left(r\right)=\frac{\kappa e^{-\alpha r}}{r}$$

• Im Laborsystem
  $$\frac{d\sigma}{d\Omega_{L}}\left(\theta_{L}\right)=\frac{d\sigma}... ..._{s}\right)\frac{\sin\theta_{s}}{\sin\theta_{L}}\frac{d\theta_{s}}{d\theta_{L}}$$

• Transformation der Winkel siehe StreuwinkelTransformation.

Spezialfall

$m_{1}<m_{2}$

• $\tan\theta_{L}\sim\tan\theta_{s}\Rightarrow\theta_{L}\approx\theta_{S}$

Spezialfall

$m_{1}=m_{2}$

• $\tan\theta_{L}=\frac{\sin\theta_{s}}{\cos\theta_{s}+1}=\tan\frac{\theta_{s}}{2}\Rightarrow\theta_{L}=\frac{1}{2}\theta_{S}$
• $\frac{d\sigma}{d\Omega_{L}}\left(\theta_{L}\right)=4\cos\theta_{L}\frac{d\sigma}{d\Omega_{s}}\left(2\theta_{L}\right)$