Drehimpuls

Transformation

$\frac{\vec{p}^{2}}{2m}\rightarrow-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigtriangleup=-\frac{\h... ...left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)\right)+\frac{\vec{L}^{2}}{2mr^{2}}$

• in Kugelkoordinaten

Kommutator

$\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\varepsilon_{ijk}L_{k}$

• mit $i,j,k\in\left\{ x,y,z\right\}$
• $\left[L_{i},r_{j}\right]=\varepsilon_{ijk}i\hbar r_{k}$
  $\left[L_{i},p_{j}\right]=\varepsilon_{ijk}i\hbar p_{k}$
• $\left[\hat{H},L_{i}\right]=0$
  falls $V$ nur von $r$ abhängt
• Bilden eine $SU\left(2\right)$ Algebra (Li Algebra)

Betrag

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$

• $\left[L^{2},L_{i}\right]=0$
• Dies ist der einzige Operator der mit $L_{i}$ vertauscht
• gleichzeitig Diagonalisierbar sind also $L^{2}$ und eine Komponente von $L$
  • Konvention: dies sind $L^{2},L_{z}$

$\pm$Operatoren

$$L_{+} = L_{x}+iL_{y}$$

$$L_{-} = L_{x}-iL_{y}$$

• $\left(L_{+}\right)^{\dagger}=L_{-}$
  $\left(L_{-}\right)^{\dagger}=L_{+}$
• $L_{+},L_{-}$ sind nicht hermitesch
• $\left[L^{2},L_{\pm}\right]=0$
• $\left[L_{z},L_{+}\right]=\hbar L_{+}$
  $\left[L_{z},L_{-}\right]=-\hbar L_{-}$
• $L^{2}\left\vert l,m\right\rangle =l\left(l+1\right)\hbar\left\vert l,m\right\rangle$
  $L_{z}\left\vert l,m\right\rangle =m\hbar\left\vert l,m\right\rangle$
• $L_{+}\left\vert l,m\right\rangle =\sqrt{l\left(l+1\right)-m\left(m+1\right)}\hbar\left\vert l,m+1\right\rangle$
  $L_{-}\left\vert l,m\right\rangle =\sqrt{l\left(l+1\right)-m\left(m-1\right)}\hbar\left\vert l,m-1\right\rangle$
• $L_{x}=\frac{1}{2}\left(L_{+}+L_{-}\right)$
  $L_{y}=\frac{1}{2i}\left(L_{+}-L_{-}\right)$

Eigenwerte

Falls $f$ Eigenfunktion von $L^{2}$ mit Eigenwert $\lambda=l\left(l+1\right)\hbar$ und zu $L_{z}$ mit Eigenwert $\mu=m\hbar$

• dann ist auch $L_{\pm}f$ Eigenfunktion von $L^{2}$und $L_{z}$ zu Eigenwerten $\lambda,\mu\pm\hbar$.
• $\lambda\ge\mu^{2}$
• für festes $\lambda$ gibt es Maximum und Minimum für $\mu$
  

  $$\lambda = \mu_{max}^{2}+\hbar\mu_{max}$$

  $$= \mu_{min}^{2}-\hbar\mu_{min}$$

  
  

• $-l\le m\le l$ in ganzzahligen Schritten.
• $2\cdot l\in\mathbb{N}$ (also $l$ halbzahlig)
• zu jedem $l$ gibt es $2l+1$ verschiedene Werte von $m$

Bahndrehimpuls

$$\tilde{L}=\frac{\hbar}{i}\left(\vec{r}\times\vec{\nabla}\right)$$

• entspricht $\vec{r}\times\vec{p}$
• $L^{2}\left\vert l,m\right\rangle =l\left(l+1\right)\hbar\left\vert l,m\right\rangle$
• $m$ muss ganzzahlig sein $\Rightarrow$ $l$ auch
• $\left\vert l,m\right\rangle =Y_{l,m}\left(\vartheta,\varphi\right)$
• $Y_{l,m}\left(\vartheta,\varphi\right)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{\left(l-m\r... ...(l+m\right)!}}P_{l}^{m}\left(\cos\vartheta\right)\cdot e^{i\cdot m\cdot\varphi}$
• $P_{l}^{m}\left(x\right)=\frac{\left(-1\right)^{m}}{2^{l}l!}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}}\frac{\partial^{l+m}}{\partial x^{l+m}}P_{l}\left(x\right)$
• $P_{l}\left(x\right)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{\partial^{l}}{\partial x^{l}}\left(x^{2}-1\right)^{l}$

Spin

Ist ein innerer Freiheitsgerad von Elementarteilchen. Er entspricht ebenfalls einem Drehimpuls.

• $\vec{S}$ entspricht dem $\vec{L}$ beim Bahndrehimpuls
• $s$ entspricht dem $l$ beim Bahndrehimpuls
• Alle vom Bahndrehimpuls bekannten Beziehungen gelten analog auch für den Spin
• $s$ ist für eine Teilchenart fest
  • $s=\frac{1}{2}$ für: Elektronen, Proton, Neutron, $\ldots$ (Fermionen, da $s$ halbzahlig)
  • $s=$ganzzahlig für Bosonen

Spin beim Elektron

Elektron

Spin $s=\frac{1}{2}$

Eigenzustände

$$\chi_{+} = \left\vert sm\right\rangle _{1}=\left\vert\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle$$

$$\chi_{-} = \left\vert sm\right\rangle _{2}=\left\vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle$$

• Spin up: $\chi_{+}$
  Spin down: $\chi_{-}$

Operatoren

in Basis aus Eigenzuständen

$$\hat{S^{2}} = \frac{3}{4}\hbar^{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$$

$$\hat{S}_{i} = \frac{\hbar}{2}\sigma_{i}$$

$$\hat{S}_{+} = \hbar\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right)$$

$$\hat{S}_{-} = \hbar\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0\end{array}\right)$$

• Eigenwerte von $\hat{S}_{i}=\pm\frac{\hbar}{2}$

Pauli Matrizen

sind

$$\sigma_{x} = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)$$

$$\sigma_{y} = \left(\begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0\end{array}\right)$$

$$\sigma_{z} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)$$

• $\det\left(\sigma_{i}\right)=-1$
• $\textrm{trace}\left(\sigma_{i}\right)=0$
• $\lambda_{1/2}=\pm1$
• Eigenvektoren für $\sigma_{x}$
  $\chi_{+}^{\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\chi_{+}^{\left(z\right)}+\chi_{-}^{\left(z\right)}\right)$
  $\chi_{-}^{\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\chi_{+}^{\left(z\right)}-\chi_{-}^{\left(z\right)}\right)$
• $\sigma_{i}^{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)=E$

Zustand

$$\chi = \left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right)=a\chi_{+}^{\left(z\right)}+b\chi_{-}^{\left(z\right)}$$

$$= \frac{a+b}{\sqrt{2}}\chi_{+}^{\left(x\right)}+\frac{a-b}{\sqrt{2}}\chi_{-}^{\left(x\right)}$$