Radiale Schrödingergleichung

$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}u_{l}\left(r\right)}{\part... ...right)+\frac{l\left(l+1\right)\hbar^{2}}{2mr^{2}}-E\right)u_{l}\left(r\right)=0$$

• $u_{l}\left(0\right)=0$
  da $\Psi\left(\vec{r}\right)$ sonst in 0 singulär wird

totale Lösung

$\Psi\left(\vec{r}\right)=\frac{u_{l}\left(r\right)}{r}Y_{l,m}\left(\vartheta,\varphi\right)$

• für festes $m,l$ verschiedene Eigenwerte die mit $n$ durchnummeriert sind

Normierung

$\int_{0}^{\infty}\left\vert u_{l}\left(r\right)\right\vert^{2}dr=1\quad\Rightarrow\quad\int\left\vert\Psi\left(\vec{r}\right)\right\vert^{2}d\vec{r}=1$

$\infty$ kugelsymmetrisches Potential

$$V\left(r\right)=\begin{cases} 0 & r<a\\ \infty & r\ge a\end{cases}$$

• $\beta_{n,l}=ka=n\pi$
• $E_{n,l}=\frac{\hbar^{2}}{2ma^{2}}\beta_{n,l}^{2}$
• $u\left(r\right)=A\cdot r\cdot j_{l}\left(k\cdot r\right)$
• sphärische Bessel Funktion
  $j_{l}\left(x\right)=\left(-x\right)^{l}\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{l}\frac{\sin\left(x\right)}{x}$
• sphärische von Neumann Funktion
  $u_{l}\left(x\right)=-\left(-x\right)^{l}\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{l}\frac{\cos\left(x\right)}{x}$