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Subsections

Eigenvektoren I.272

Definition I.272

Ist $ \lambda_{0}$ eine Nullstelle von $ \chi_{A}\left(\lambda_{0}\right)=0=\det\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)$. Dann hat das LGS $ \left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}$ mindestens eine nicht triviale Lösung.

$\displaystyle \left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}\;\textrm{bzw.}\; A\vec{u}=\lambda_{0}\vec{u}$

heißt Eigengleichung von $ A$.

Jede Nullstelle $ \lambda_{0}$ heißt Eigenwert der Matrix $ A$.

Jeder Vektor $ \vec{u}\in K^{n},$ $ \vec{u}\neq\vec{0}$ heißt Eigenvektor von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda_{0}$.

Der gesamte Lösungsraum von $ \left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}$ heißt Eigenraum zum Eigenwert $ \lambda_{0}$ ($ =$ Kern der Matrix $ A-\lambda_{0}E_{n}$).


Vielfachheit I.275

Sei $ A$ eine $ n\times n$-Matrix mit charakteristischem Polynom $ \chi_{A}\left(\lambda\right)$. Sei $ \lambda_{0}$ eine Nullstelle von $ \chi_{A}\left(\lambda\right)$ der Vielfachheit $ k_{0}$. Dann heißt $ k_{0}$ die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $ \lambda_{0}$.

Der Eigenraum des Eigenwertes $ \lambda_{0}$ habe die Dimension $ m_{0}$. Dann heißt $ m_{0}$ die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes $ \lambda_{0}$.

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren I.276

Sei $ A$ eine $ n\times n$-Matrix und $ \lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ paarweise verschiedene EW von $ A$. Zu jedem EW $ \lambda_{j}$ gehöre genau ein Eigenvektor $ \vec{u}_{j}$. Dann sind die Eigenvektoren $ \vec{u}_{1},\ldots,\vec{u}_{m}$ linear unabhängig.


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Marco Möller 17:42:11 24.10.2005