Eigenvektoren I.272

Definition I.272

Ist $\lambda_{0}$ eine Nullstelle von $\chi_{A}\left(\lambda_{0}\right)=0=\det\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)$. Dann hat das LGS $\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}$ mindestens eine nicht triviale Lösung.

$$\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}\;\textrm{bzw.}\; A\vec{u}=\lambda_{0}\vec{u}$$

heißt Eigengleichung von $A$.

Jede Nullstelle $\lambda_{0}$ heißt Eigenwert der Matrix $A$.

Jeder Vektor $\vec{u}\in K^{n},$ $\vec{u}\neq\vec{0}$ heißt Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda_{0}$.

Der gesamte Lösungsraum von $\left(A-\lambda_{0}E_{n}\right)\vec{u}=\vec{0}$ heißt Eigenraum zum Eigenwert $\lambda_{0}$ ($=$ Kern der Matrix $A-\lambda_{0}E_{n}$).

• $A$ positiv (negativ) definit $\Leftrightarrow$ Alle Eigenwerte von $A$ positiv (negativ) sind
• $A$ indefinit $\Leftrightarrow$ Es gibt sowohl positive, als auch negative Eigenwerte von $A$
• Eigenvektoren sind nicht eindeutig. Sie können durch lin. abhängige ersetzt werden

Vielfachheit I.275

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit charakteristischem Polynom $\chi_{A}\left(\lambda\right)$. Sei $\lambda_{0}$ eine Nullstelle von $\chi_{A}\left(\lambda\right)$ der Vielfachheit $k_{0}$. Dann heißt $k_{0}$ die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $\lambda_{0}$.

Der Eigenraum des Eigenwertes $\lambda_{0}$ habe die Dimension $m_{0}$. Dann heißt $m_{0}$ die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes $\lambda_{0}$.

• $1\leq m_{0}\leq k_{0}\leq n$
• Wenn $\forall$ EW $\lambda_{i}:k_{i}=m_{i}\Leftrightarrow$
  $A$ ist diagonalähnlich / $A$ ist ähnlich zu ( $B^{-1}AB=\tilde{A}$ mit $B=\left(\vec{v}_{1},\ldots,\vec{v}_{n}\right)$, $\vec{v}_{i}$ Eigenvektor von $A$) zu $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)$

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren I.276

Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix und $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ paarweise verschiedene EW von $A$. Zu jedem EW $\lambda_{j}$ gehöre genau ein Eigenvektor $\vec{u}_{j}$. Dann sind die Eigenvektoren $\vec{u}_{1},\ldots,\vec{u}_{m}$ linear unabhängig.