absolut / bedingt konvergent II.163

Die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ heißt absolut konvergent, falls die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}\left\vert a_{k}\right\vert$ konvergiert, bedingt konvergent, falls zwar $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert, $\sum_{k=0}^{\infty}\left\vert a_{k}\right\vert$ aber divergiert.

• Wenn eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ absolut konvergiert, dann konvergiert sie auch bedingt.
• Wenn eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ divergiert, dann divergiert auch $\sum_{k=0}^{\infty}\left\vert a_{k}\right\vert$.
• Die Summe ( $\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$) zweier absolut konvergenter Reihen ( $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$, $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$) ist die auch absolut konvergent.

Doppelreihe II.167

Durch $\sum_{v,\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}$ wird eine Doppelreihe gegeben.

Umordnung II.164

Sei $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ eine Reihe und $\pi:\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\}$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_{\pi\left(k\right)}$$

eine Umordnung der Ausgangsreihe.

• Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe ist ebenfalls (gegen den gleichen Wert) konvergent.
• Sei $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ bedingt konvergent. Dann gibt es zu jedem $-\infty\leq s\leq\infty$ eine Umordnung sie bedingt gegen $s$ konvergiert: $\sum_{k=0}^{\infty}a_{\pi_{s}\left(k\right)}=s$

Großer Umordnungssatz II.167

Ordnet man die Doppelreihe in beliebiger Reihenfolge zu einer einfachen Reihe an, so entsteht eine stets mit der gleichen Summe $s$ absolut konvergente Reihe. Alle Zeilensummen $\sum_{\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}$ sowie alle Spaltensummen $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v\mu}$ sind absolut konvergent. Die Reihe der Spaltensummen bzw. Reihensummen konvergiert absolut gegen $s$:

$$\sum_{v,\mu=0}^{\infty}a_{v\mu}=\sum_{v=0}^{\infty}\left(\sum_{\m... ...a_{v\mu}\right)=\sum_{\mu=0}^{\infty}\left(\sum_{v=0}^{\infty}a_{v\mu}\right)=s$$

• gilt sinngemäß auch für Mehrfachreihen $\sum_{v_{1},\ldots,v_{m}=0}^{\infty}a_{v_{1},\ldots,v_{m}}$

Produkt von Reihen II.165

Wenn zwei Reihen absolut konvergieren, dann konvergiert die Reihe der Produkte (bei beliebiger Anordnung) ebenfalls absolut, und es gilt:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\tilde{p}_{k}=\sum_{{{k=1\atop j=1}}}^{\infty}\left(a_{k}b_{j}\right)=\sum_{k,j=0}^{\infty}\left(a_{k}b_{j}\right)$$

$$=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\right)=ab$$

Cauchy-Produkt II.166

Das Cauchy-Produkt ist absolut konvergent:

$$\sum_{v=0}^{\infty}\left(\sum_{\mu=0}^{v}a_{\mu}b_{v-\mu}\right)=\left(\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}\right)\left(\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}\right)$$