Konvergenzkriterien II.168

Majoranten- oder Vergleichskriterium II.168

$\forall v\geq v_{0}\geq0:\;0\leq a_{v}\leq b_{v}$.

Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$ konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$, und es gilt: $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}\leq\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$.

Wenn die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}b_{v}$ divergiert, dann divergiert auch die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$.

Quotientenkriterium II.169

Sei $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ eine Reihe mit $a_{v}\neq$ für alle $v\in\mathbb{N}$ und

$$\limsup_{v\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right... ...inf_{v\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right\vert=\underbar{g}$$

Dann gilt:

• Ist $\bar{g}<1$, so konvergiert die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ absolut.
• Ist $\underbar{g}>1$, so divergiert die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$.
• Für jeweils $=1$ gibt das Kriterium keinen Aufschluss.
• siehe Wurzelkriterum (ist stärker als Quotientenkriterium)

Wurzelkriterium II.171

Sei $\sum_{v=0}^{\infty}a_{v}$ eine Reihe mit

$$\limsup_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left\vert a_{v}\right\vert}=\bar{g}$$

• Ist $\bar{g}<1$, so konvergiert die Reihe absolut.
• Ist $\bar{g}>1$, so divergiert die Reihe.
• Für $\bar{g}=1$ gibt das Kriterium keinen Aufschluss.
• $\limsup_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left\vert a_{v}\right\vert}\leq\limsup_{v\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right\vert$
  $\liminf_{v\rightarrow\infty}\sqrt[v]{\left\vert a_{v}\right\vert}\geq\liminf_{v\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{v+1}}{a_{v}}\right\vert$
  • Bezug zum Quotientenkriterium.
  • Wenn erster Grenzwert existiert, dann existiert auch der zweite.
  • Das Wurzelkriertum ist stärker als das Quotientenkriterium.

Leibnizsches Kriterium II.174

Sei $\left\{ a_{v}\right\} _{v=1}^{\infty}$ eine Nullfolge mit $\forall v:\ a_{v}\geq0,\ a_{v}\geq a_{v+1}$.

Dann ist die Reihe

$$\sum_{v=1}^{\infty}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}$$

konvergent. Für die n-te Teilsumme gilt die Abschätzung:

$$\left\vert\sum_{v=1}^{\infty}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}-\sum_{v=1}^{n}\left(-1\right)^{v+1}a_{v}\right\vert\leq a_{n+1}$$

Integralkriterium II.175

Sei $\forall_{\left[1,\infty\right)}^{x}:\; f:\left[1,\infty\right)\rightarrow\mathbb{R},\; f\left(x\right)\leq0$ monoton fallend, und die Folge $a_{v}=f\left(v\right),v\in\mathbb{N}$ eine Nullfolge. Dann gilt:

$$\sum_{v=1}^{\infty}a_{v}\;\mathrm{konvergiert}\Leftrightarrow\int_{x=1}^{\infty}f\left(x\right)dx\;\mathrm{konvergiert}$$