Vertauschen von Grenzwerten

Integration II.180

Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ von stetigen Funktionen konvergiere gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$. Dann gilt

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx = \int_{a}^{b}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)dx$$

$$= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx\right)$$

Differenziation II.180

Die Folge von stetig differenzierbaren Funktionen $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiere in $\left[a,b\right]$ punktweise gegen $f$. Die Folge der Ableitungen $\left(f_{n}'\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiere gleichmäßig in $\left[a,b\right]$. Dann ist $f$ stetig diffbar, und

$$f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)$$

Funktionsreihen Integrieren II.182

Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig auf $\left[a,b\right]$. Die Reihe $f\left(x\right):=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ konvergiere gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. Dann ist die Grenzwertfunktion $f$ stetig in $\left[a,b\right]$ und

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx = \int_{a}^{b}\left(\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}\left(x\right)\right)dx$$

$$= \sum_{v=1}^{\infty}\left(\int_{a}^{b}f_{v}\left(x\right)dx\right)$$

Funktionsreihen Differenzieren II.182

Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig differenzierbar auf $\left[a,b\right]$. Die Reihe $f\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ konvergiere punktweise gegen $f$, und $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}'\left(x\right)$ konvergiere gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$. Dann ist $f\left(x\right)$stetig differenzierbar und

$$f'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}\left(x\right)\right)=\sum_{v=1}^{\infty}f_{v}'\left(x\right)$$