Sätze über stetige Funktionen

Hauptsätze II.41

Seien $f,g:D\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $x_{0}\in D$. Dann sind auch folgende Funktionen stetig:

• $f+g:D\rightarrow\mathbb{R}$
• $fg:D\rightarrow\mathbb{R}$
• $\frac{f}{g}:D\rightarrow\mathbb{R}$ falls $g\left(x_{n}\right)\neq0$

Verkettung II.42

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $x_{0}\in D$, $g:f(D)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $f\left(x_{0}\right)$. Dann gilt:

Verkettung $g\circ f:D\rightarrow\mathbb{R}$ ist stetig.
bzw. $x\mapsto g\left(f(x)\right)$ stetig in $x_{0}$

• $\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x$

Umkehrfunktion II.43

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ eine streng monotone, in $x_{0}\in\left[a,b\right]$ stetige Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\mathbb{R}$ in $f\left(x_{0}\right)\in f\left(\left[a,b\right]\right)$ stetig.

• Entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Geraden $y=x$
• $\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x$
• Nur !!! bei stetigen, streng monotonen Funktionen möglich. Anderenfalls Definitionsbereich passend einschränken.

Min-/Maximum II.43

Eine Funktion hat ein (absolutes) Minimum bzw. Maximum $x_{0}$, wenn $f(x)\geq f\left(x_{0}\right)$ bzw. $f(x)\leq f\left(x_{0}\right)$.

$$\min f(x)=\underline{x}\quad\mathrm{bzw.}\quad\max f(x)=\overline{x}$$

Bei einem beschränkten Wertebereich muss eine stetige Funktion ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum besitzen.

Dies ist relativ, falls dies nur in einer Umgebung um $x_{0}$ gilt.

$$\min_{x\in\left[a,b\right]}f(x)=\underline{x}\quad\mathrm{bzw.}\quad\max_{x\in\left[a,b\right]}f(x)=\overline{x}$$

Zwischenwertsatz II.44

Bei einer stetigen, beschränkten Funktion wird jeder Wert zwischen dem Minimum und dem Maximum als Funktionswert angenommen.

gerade / ungerade Funktionen

• Eine Funktion $g(x)$ ist gerade, wenn
  $g(-x)=g(x)$
  • sind Spiegelsymmetrisch zur Y-Achse
  • z.B. Polynome in denen nur gerade Exponenten auftauchen ( $p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{2k}x^{2k}$)
  • z.B. $\cos(x)$
• Eine Funktion $u(x)$ ist ungerade, wenn
  $u(-x)=-u(x)$
  • sind Punktsymmetrisch zum Ursprung
  • z.B. Polynome in denen nur ungerade Exponenten Auftauchen ( $p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{2k+1}x^{2k+1}$)
  • z.B. $\sin(x)$
• Der (un)gerade Anteil einer beliebigen Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ist definiert durch
  • gerade: $g(x):=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
  • ungerade: $u(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
  • $f(x)=g(x)+u(x)$
  • z.B. $f(x)=e^{x}$
    $g(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$
    $u(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$