Das vektorielle Produkt I.90

Das vektorielle Produkt $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}$ ordnet zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einen dritten Vektor $\vec{c}$ zu. Man stelle sich vor, $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spannen im Raum eine Fläche (Parallelogramm) auf. $\vec{c}$ wird auf dieser Fläche senkrecht stehen, und als Länge, den Betrag des Flächeninhalts des Parallelogramms haben. Die genaue Richtung lässt sich mit der 3-Fingerregel überlegen. Daumen = $\vec{a}$; Zeigefinger (ausgestreckt) = $\vec{b}$; Mittelfinger (90^&cir#circ; angewinkelt) = $\vec{c}.$

$$\vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{array}{c} y_{a}z_{b}-z_{a}y_{b}... ...vec{e}_{y} & a_{y} & b_{y}\\ \vec{e}_{z} & a_{z} & b_{z}\end{array}\right\vert$$

• Das vektorielle Produkt ist nur in $\mathbb{V}^{3}$ definiert.

Rechenregeln I.91

• $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
• $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{a}=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\vec{b}=0\Rightarrow$ $\vec{a}\bot\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b}$
• $\left(\lambda\vec{a}\right)\times\vec{b}=\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)$
• $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
• $\vec{a}\times\lambda\vec{a}=\vec{0}$
• $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{a}\ \mathrm{und}\ \vec{b}$ sind linear unabhängig
• $\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-\left(\vec{a}\vec{b}\right)^{2}$
• $\sin\left(\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=\frac{\left\Vert \vec{a}\t... ...c{b}\right\Vert }{\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert }$