Der unitäre Vektorraum $\mathbb{C}^{n}$ I.177

Übertragen des Skalarproduktes und des Betrages auf den Vektorraum $\mathbb{C}^{n}$.

Skalare Produkt / Betrag I.178

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{j=1}^{n}a_{j}\bar{b}_{j}$$

$$\left\Vert \vec{a}\right\Vert =\sqrt{\sum_{j=1}^{n}a_{j}\bar{a}_{j}}=\sqrt{\vec{a}\vec{a}}$$

Es gelten die selben Regeln wie für Vektoren aus $\mathbb{R}^{3}$ (siehe sub:skalare-Produkt-R3) mit folgenden Ausnahmen bzw. Ergänzungen:

• $\vec{a}\vec{b}=\overline{\vec{b}\vec{a}}$
• $\left(\lambda\vec{a}\right)\vec{b}=\lambda\left(\vec{a}\vec{b}\right)$
  $\vec{a}\left(\lambda\vec{b}\right)=\bar{\lambda}\left(\vec{a}\vec{b}\right)$
• Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen orthogonal (senkrecht) zueinander $\left(\vec{a}\perp\vec{b}\right)$, wenn $\vec{a}\vec{b}=0$
• Vektoren der Länge 1 $\left(\left\Vert \vec{a}\right\Vert =1\right)$ heißen Einheitsvektoren.

Orthogonalsystem / Orthonormalsystem (Basis) I.180

Eine Menge von Vektoren $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\}$, die den Nullvektor nicht enthält und mit $\vec{a}_{k}\vec{a}_{j}=0$ für $k\neq j$ heißt Orthogonalsystem (alle Vektoren sind senkrecht zueinander).

Sind zudem alle $\vec{a}_{j}$ normiert (Länge 1) so heißen sie Orthonormalsystem.

• Die Vektoren eines Orthonormalsystems sind linear unabhängig
• Bilden die Vektoren eine Basis, so spricht man von einer Orthogonalbasis bzw. Orthonormalbasis.
• Die Kanonische Basis ist eine Orthonormalbasis (siehe sub:Kanonische-Basis).

Existenz einer Orthonormalbasis I.181

Sei $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{m}\in\mathbb{C}^{n}\textrm{ bzw. }\mathbb{R}^{n}$ eine linear unabhängige Menge von Vektoren. Dann gibt es ein Orthonormalsystem $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}$ mit $\left\langle \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{i}\right\rangle =\left\langle \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{i}\right\rangle$ für alle $1\leq i\leq m$.

Gram-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren I.182

Auch unter dem Namen Hilbert-Schmidtsches-Orthonormalisierungsverfahren bekannt. Konventionen wie bei 18.4.3.

1. $\vec{b}_{1}=\frac{\vec{a}_{1}}{\left\Vert \vec{a}_{1}\right\Vert }$
2. Für alle $\vec{b}_{k}$ mit $1\leq k\leq m-1$
   1. $\vec{\tilde{a}}_{k+1}=\vec{a}_{k+1}-\sum_{l=1}^{k}\left(\vec{a}_{k+1}\vec{b}_{l}\right)\vec{b}_{l}$
   2. $\vec{b}_{k+1}=\frac{\vec{\tilde{a}}_{k+1}}{\left\Vert \vec{\tilde{a}}_{k+1}\right\Vert }$

• Alle $\vec{b}_{k}$ auf Länge (=1) und orthogonalität (Skalarprodukt = 0) testen
• Brüche und Große Zahlen aus Vektoren ausklammern, so das in den Vektoren nur ganze, möglichst kleine Zahlen enthalten sind.
• Um aus $\tilde{a}_{k}$ $\tilde{b}_{k}$ zu erstellen, können die ausgeklammerten Werte vor $\tilde{a}_{k}$ weggelassen werde, da diese sich durchs Renormieren ohnehin herauskürzen würden.

Geometrisch wird der die Richtung des 1. Vektors übernommen, und von allen weiteren Vektoren deren Komponenten in Richtung von bereits erzeugten Basis-Vektoren abgezogen, so das nur deren neuer Richtungsanteil übrig bleibt, welcher letztendlich dann als Richtung für den zusätzlichen Basis-Vektor genommen wird.