Exponentialfunktion

Sei $U=E$ Banachraum z.B. $E=\mathbb{R}^{n}$ $T:E\rightarrow E$ linear und stetig ( $T\in\mathcal{L}\left(E,E\right)$).

$$\exp\left(T\right):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}T^{k}$$

• $\frac{d}{dt}\exp\left(t\cdot T\right)=T\cdot\exp\left(t\cdot T\right)=\exp\left(t\cdot T\right)\cdot T$
• $\exp\left(\left(t+s\right)\cdot T\right)=\exp\left(t\cdot T\right)\cdot\exp\left(s\cdot T\right)$
• Falls $X\cdot Y=Y\cdot X$ gilt
  $\exp\left(X+Y\right)=\exp\left(X\right)\cdot\exp\left(Y\right)$
• $\exp\left(0\cdot T\right)=\textrm{id}$
• $\left(\exp\left(T\right)\right)^{-1}=\exp\left(-T\right)$
• $\textrm{exp}\left(t\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & r\\ 0 & 0\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & t\cdot r\\ 0 & 1\end{array}\right)$
• $\textrm{exp}\left(t\cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & r\\ 0 & 1\end{array}\righ... ...ft(\begin{array}{cc} e^{t} & e^{t}\cdot t\cdot r\\ 0 & e^{t}\end{array}\right)$
• Drehmatrix
  

  $$R\left(t\right) = \exp\left(t\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right)\right)$$

  $$= \left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ -\sin\left(t\right) & \cos\left(t\right)\end{array}\right)$$

  
  

Blockdiagonalmatrizen

Ist $A$ eine Blockdiagonalmatrix, d.h.

$$A=\left(\begin{array}{cccc} A_{1} & & & 0\\ & A_{2}\\ & & \ddots\\ 0 & & & A_{r}\end{array}\right)$$

mit $A_{1},\ldots,A_{r}$ ebenfalls Matritzen. Dann gilt

$${\scriptstyle \exp\left(t\cdot A\right)}=\left(\begin{array}{cccc... ...ddots\\ 0 & & & {\scriptstyle \exp\left(t\cdot A_{r}\right)}\end{array}\right)$$

• Dies ist für Diagonalmatrizen bereits eine geschlossene Lösungsformel
• gilt ebenso für komplexe Matritzen

Basiswechsel

Ist $A\in\mathcal{L}\left(E\right)$ und ist $R\in\mathcal{L}$ invertierbar (d.h. $R\in GL\left(E\right)$), so gilt

$$\exp\left(RAR^{-1}\right)=R\exp\left(A\right)R^{-1}$$

• gilt ebenso für komplexe Matritzen

Jordanblock

Eine komplexe $k\times k$-Matrix der Form

$$J_{k}\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cccc} \alpha & 1 & & 0\\ & \alpha & \ddots\\ & & \ddots & 1\\ 0 & & & \alpha\end{array}\right)$$

für $\alpha\in\mathbb{C}$, heißt Jordan-Block der Größe $k$ zum Eigenwert $\alpha$.

Jordan-Normalform

Ist $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$, so gibt es $R\in\mathbb{C}^{n\times n}$, $R$ invertierbar, so dass gilt

$$RAR^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} A_{1} & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & A_{k}\end{array}\right)$$

ist Blockdiagonal und $A_{j}=J_{m_{j}}\left(\alpha_{j}\right)$ ist Jordanblock. $RAR^{-1}$ nennt sich die Jordan-Normalform von $A$.

Nilpotent

Eine Matrix $N\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt nilpotent, falls $N^{m}=0$ gilt für ein $m\in\mathbb{N}.$

Ist $N,A\in\mathbb{C}^{n\times n}$, $N$ nilpotent mit $N^{m}=0$ und gilt $AN=NA$, so gilt

1. $\exp\left(t\cdot N\right)=1+t\cdot N$+ $\frac{1}{2}t^{2}N^{2}+\ldots+\frac{1}{\left(m-1\right)!}N^{m-1}$
2. $\exp\left(t\left(N+A\right)\right)=\exp\left(t\cdot N\right)\exp\left(t\cdot A\right)=\exp\left(t\cdot A\right)\exp\left(t\cdot N\right)$

• Gilt $XY=YX$ für $X,Y\in\mathcal{L}\left(E\right)$, so gilt $\exp\left(X+Y\right)=\exp\left(X\right)\exp\left(Y\right)$

Exp und Jordan-Block

Setze

$$E_{n,k} = \left(\begin{array}{ccccc} & & 1 & & 0\\ & & & \ddots\\ & & & & 1\\ 0\end{array}\right)$$

$$\left(E_{n,k}\right)_{i,j} = \begin{cases} 1 & i-j=k\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$$

Hiermit lässt sich ein Jordan Block schreiben als

$$J_{n}\left(\alpha\right)=\alpha\cdot1+E_{n,1}$$

Hiermit gilt nun

$$\exp\left(t\cdot J_{n}\left(\alpha\right)\right)=e^{\alpha t}\lef... ...frac{t^{2}}{2}E_{n,2}+\ldots+\frac{t^{n-1}}{\left(n-1\right)!}E_{n,n-1}}\right)$$

• $E_{n,k}=0$ für $k\ge n$
• $E_{n,0}=1$
• $E_{n,k}\cdot E_{n,l}=E_{n,k+l}$
• $E_{n,1}^{n}=0$
• $\alpha1\cdot E_{n,1}=E_{n,1}\alpha1$