Linear und Zeitabhängig

Sei $E$ Banachraum, $J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall mit $0\in J$, $\alpha:J\rightarrow\mathbb{R}$ lokal Lipschitz-stetig. Betrachte die DGL

$$\dot{c}\left(t\right)=\alpha\left(t\right)\cdot A\left(t\right)\cdot c\left(t\right)$$

für festes $A\in\mathcal{L}\left(E\right)$. Die Lösung auf dem Lösungsintervall $J$ lautet

$$c\left(t\right)=\exp\left(\left(\int_{0}^{t}\alpha\left(s\right)ds\right)\cdot A\right)\cdot c\left(0\right)$$