Eigenschaften spezieller normaler Matrizen

Normale Matrizen

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

1. $A$ ist normal
2. $\mathbb{C}^{n}$ besitzt Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A$
3. Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{C}$, so dass $Q^{-1}AQ$ Diagonalmatrix

Hermitesche Matrizen

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

1. $A$ ist hermitesch
2. $A$ normal & alle Eigenwerte reell
3. Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{C}$, so dass $Q^{-1}AQ$ eine reelle Diagonalmatrix ist

Symmetrische Matrizen

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

1. $A$ symmetrisch
2. $\mathbb{R}^{n}$ besitzt Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A$
3. Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{R}$, so dass $Q^{-1}AQ$ (reelle) Diagonalmatrix

Unitäre Matrizen

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Äquivalent sind:

1. $A$ unitär, d.h. $A\in U_{n}\mathbb{C}$
2. $A$ normal & alle Eigenwerte haben Betrag $1$
3. Es existiert $Q\in U_{n}\mathbb{C}$, so dass $Q^{-1}AQ$ Diagonalmatrix mit Elementen vom Betrag $1$.