Modellanalyse

Lösbarkeit

Lösungstrajektorie

Man zeichne in ein $x,t$ Diagramm ($x$ kann Dimension größer $1$ haben, dann dafür mehrere Achsen verwenden) in jeden Punkt einen Pfeil mit der Steigung $f\left(x,t\right)=\dot{x}$ ein (Richtungsfeld). Wenn man nun im Punkt $x\left(0\right)$ ($n$ Integrationskonstanten) startet und immer den Pfeilrichtungen folgt, erhält mein eine Lösungstrajektorie.

eindeutige Lösung

$x\left(t\right)$ mit $t>0$ für ein autonomes DGL-System $1$ter Ordnung existiert falls für alle (zulässigen) $x_{1},x_{2}\in\mathbb{K}^{n}$ die folgende Lipschitzbedingung erfüllt ist. Es exisitert ein $L\in\mathbb{K}$ so dass für alle (zulässigen) $x_{1},x_{2}\in\mathbb{K}^{n}$ gilt

$$\left\Vert f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right\Vert \le L\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert$$

mit einer belibigen Norm $\left\Vert .\right\Vert$.

Gleichgewichtslösung

Außer der Existenz einer (eindeutigen) Lösung von

$$\dot{x}=f\left(x,u\right),\; x\left(0\right)=x_{0}\in K^{n}$$

ist die Existenz eines stationären Zustandes $x\left(t\right)\rightarrow x_{s}$ für $t\rightarrow\infty$ für konstantes $u\left(t\right)=u_{s}$ von Interesse.

Notwendig

$0=f\left(x_{s},u_{s}\right)$

Lineares System

$Ax_{s}=-Bu_{s}$ eindeutig Lösbar mit $x_{s}=-A^{-1}Bu_{s}$ wenn $\det\left(A\right)\neq0$

• Lösbar sobald $\textrm{Rang}\left(A\right)=\textrm{Rang}\left(A\vert Bu_{s}\right)$

Nichtlineares System

ist zudem notwendig das die Determinante der Jakobimatrix im Lösungsumfeld $\left(x_{s}\right)$ nicht 0 ist.

$$\exists\varepsilon:\forall\left\Vert x-x_{s}\right\Vert <\varepsilon:\det\frac{\partial f\left(x,u_{s}\right)}{\partial x}\neq0$$

• Es kann keine, eine, mehrere, unendlich viele oder keine Lösung geben.

Jacobi-Matrix

Definition

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\par... ...rtial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}\end{array}\right)$$

Vorwärtsdifferentenquotient

• Approximation der $j$-ten Spalte der Matrix
  $$\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\approx\frac{1}{\delta\left(x_{j... ...ght)}\left(f\left(x+e_{j}\delta\left(x_{j}\right)\right)-f\left(x\right)\right)$$

• $e_{j}$ ist der $j$-te Einheitsvektor
• Schrittweite $\delta\left(x_{j}\right)=\varepsilon\left(1+\left\vert x_{j}\right\vert\right)$
• Wahl der Toleranz $\varepsilon$ bei ``gut skalierter'' Funktion $f$: $\varepsilon=\sqrt{\varepsilon_{mach}}$ mit $\varepsilon_{mach}$ relative Maschienengenauigkeit, z.B. $\varepsilon_{mach}\approx2.2*10^{-16}$ bei double precision
• Aufwand: Approximation erfordert im wesentlichen $n+1$ Auswertungen von $f$
• Genauigkeit:
  

  $$\left\vert\frac{\partial f_{i}\left(x\right)}{\partial x_{j}}-\fr... ...ft(x+e_{j}\delta\left(x_{j}\right)\right)-f_{i}\left(x\right)\right)\right\vert$$

  $$\le\left\vert\delta\left(x_{j}\right)\right\vert\cdot\left\vert\frac{\partial^{2}f_{j}\left(x\right)}{\partial x_{j}^{2}}\right\vert$$

  
  d.h. maximal die Hälfte der gültigen Dezimalstellen von $f$

Besetztheisstruktur

einer Jacobi-Matrix gibt wieder, in welchen Stellen der Matrix von 0 verschiedene Werte stehen.

• Dies gibt die Kopplungen der DGL wieder
• sehr große Systeme können nur durch Ausnutzung der (hoffentlich dünnen) Besetztheitsstruktur der Jakobimatrix effizient numerisch simuliert werden.

Schrittweise Aufdatierung

(``Updates'') einer Approximation der Jacobi-Matrix (sogenanntes ``Quasi Newton Verfahren'')

• im Allgemeinen: Rang $1$ Verfahren z.B. nach Broyden:
  Approximation der Jacobimatrix $J^{\left(k\right)}\approx\frac{\partial f}{\partial x}\left(x^{\left(k\right)}\right)$ durch schrittweise Aufaddierung einer $n\times n$ Matrix vom Rang $1$ (rank $1$ update)

$$J^{\left(k\right)}= J^{\left(k-1\right)}+\frac{1}{\left\Vert \alpha^{\left(k-1\right)}\cdot\Delta x^{\left(k-1\right)}\right\Vert }\cdot$$

$$\underbrace{f\left(x^{\left(k\right)}\right)-f\left(x^{\left(k-1\... ...}\cdot\Delta x^{\left(k-1\right)}\right.^{T}}_{1\times n\textrm{ Zeilenvektor}}$$

• $\alpha^{\left(k-1\right)}\cdot\Delta x^{\left(k-1\right)}=x^{\left(k\right)}-x^{\left(k-1\right)}$
• Bei symmetrischer Jacobi-Matrix: Rang 2-Verfahren

Symbolisches Differenzieren

durch systematisches Anwenden von Ketten-, Produkt etc. Regeln

• z.B. mit Maple, Mathematica, Macsyma
• Vorteil: kein Approximierungsfehler, nur Rundungsfehler
• Nachteil: liefert lange, unübersichtliche Formeln; hoher Berechnungsaufwand

Automatisches Differenzieren

sind spezielle Algorithmen zur Transformation eines C-, Fortran oder Matlab- Programms von $f\left(x\right)$ in Programm zur Auswertung der Jacobi-Matrix

• Vorteil: kein Approximatinsfehler, nur Rundungsfehler
• Schwierigkeiten u.a. bei Fallunterscheidungen (if-then-else)

Linearisierung um die Ruhelage

$$\left(\Delta x\right)^{\bullet}\approx\underbrace{\left.\frac{\pa... ...\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right\vert _{x_{s},u_{s}}}_{B}\cdot\Delta u$$

• $x_{s},u_{s}$ sind Koordinaten der jeweiligen Ruhelage um die linearisiert wird
• Fällt ein Ruhezustand mit einer Sprung- oder Knickstelle (oder anderen Ausnahmestelle) zusammen, so kann man um ihn nicht linearisieren (und auch nicht in einer ``engeren'' Umgebung).
• Es lässt sich auch um eine Referenztrajektorie linearisiern. Formeln sehen genauso aus wie hier. Interpretierbar als Linearisierung um zeitveränderliche Ruhelage

Lösen einer linearisierten (linearen) DGL

Gegeben

$\dot{x}=A\cdot x$

Lösungsansatz

$x\left(t\right)=c\cdot e^{\lambda t}$

• $x,c\in\mathbb{C}^{n}$ $\lambda\in\mathbb{C}$

Zwischentherm

$\left(\lambda\cdot E-A\right)\cdot c=0$

• Eigenwerte von $A$ als Lösungen für $\lambda$ bestimmen. $n$ komplexe Lösungen für folgende Gleichung:
  $$\det\left(\lambda_{i}\cdot E-A\right)=0$$

Lösung

$x\left(t\right)=\sum_{i=1}^{n}c_{i}e^{\lambda_{i}t}$

• $\lambda_{i}$ sind Eigenwerte - $n$ Stk.
• $c_{i}$ sind Eigenvektoren - Anhand von Anfangsbedingungen genauer zu bestimmen - $n$ Stk.
• Nur falls $A$ diagonalisierbar. Ansonsten Jordanketten Bilden:
  • Hauptvektoren
    $$\left(\lambda E-A\right)v^{\left(k\right)}=v^{\left(k-1\right)}$$
    $$e^{\lambda_{i}t}\left(c_{1}v_{1}+c_{2}\left(v_{2}+tv_{1}\right)+c_{3}\left(v_{3}+tv_{2}+t^{2}v_{1}\right)\right)$$

Stabilität

Für den Fall das $A$ eine rein reelle Matrix war gilt:

aperiodische Dämpfung

wenn alle Eigenwerte reell und negativ sind

• Stabil

aperiodisch ungedämpft

wenn alle Eigenwerte reell und mind. einer positiv ist

• instabil

gedämpfte Oszilation

wenn alle Realanteile der Eigenwerte negativ sind und komplexe Eigenwerte immer konjungiert nocheinmal auftauchen.

• stabil

ungedämpfte Oszillation

wenn mindestens ein Realanteil eines Eigenwertes positiv ist und komplexe Eigenwerte immer konjungiert nocheinmal auftauchen.

• instabil

instabil

bedeutet das bei einer begrenzen Eingabe eine theoretisch unbegrenzte Ausgabe erfolgen kann.

Zeitcharakteristik

Zeitcharakteristika

$T_{i}$

• sind für aperiodische Vorgänge die Dauer, bis sich der Wert um den Faktor $e$ (bzw. $\frac{1}{e}$) verändet hat
• sind für periodische Vorgänge die Periodendauer
• können mit Hilfe der Eigenwerte $\lambda_{i}$ bestimmt werden

reeller EW

$T_{i}=\frac{1}{\left\vert\lambda_{i}\right\vert}$

imaginärer EW

$T_{i}=\frac{2\pi}{\left\vert\lambda_{i}\right\vert}$

konjungiert komplexer EW

$$T_{i}=\textrm{min}\left\{ \frac{1}{\left\vert\Re\left(\lambda_{i}... ...ht\vert},\frac{2\pi}{\left\vert\Im\left(\lambda_{i}\right)\right\vert}\right\}$$

Minmale Zeitcharakteristik

$$T_{min}=\min\left\{ T_{i}\vert i=1,\ldots,n\right\}$$

Maximale Zeitcharakteristik

$$T_{max}=\max\left\{ T_{i}\vert i=1,\ldots,n\right\}$$

Simulationsdauer

für nichtlineares System (Faustregel)

• stabiles System: $t_{f}=5\cdot T_{max}$
• instabiles System bis z.B. ein gewünschter Wert über-/unterschritten wurde

Diskretisierungsschrittweite

$h=\Delta t\le\alpha\cdot T_{min}$

• mit $\alpha\in\left[\frac{1}{20},\frac{1}{5}\right]$

Steife DGL

Definition

Eine DGL wird steif genannt wenn sie sehr unterschiedliche Zeitcharakteristika enthält

• $s>10^{3}\ldots10^{7}$

Steifheitsmaß

$s=\frac{T_{max}}{T_{min}}$

• numerische Lösung benötigt Rechenzeit Proportional zu $s$

Integration

von steifen DGLn am besten mit implizieten Verfahren

Unstetige Rechte Seite

Die rechte Seite $f$ der Differentialgleichung $\dot{x}=f\left(x,u\right)$ (oder eine ihrer Ableitungen) kann unstetig sein, z.B. wegen

• unstetiger Steuerung $u\left(t\right)$, z.B. Ventil auf/zu
• modellinhärenter Unstetigkeiten (z.B. Kollision von Roboterarm, Abtrennung einer Raketenbrennstufe)
• Einige numerische Methoden benötigen (mehrfach) stetig ableitbare rechte Seite. Hier Vorsicht walten lassen bzw. berücksichtigen.
• Verbesserung der numerischen Simulation durch Detektion der Unstetigkeit und abschnittsweiser Berechnung.