Grundlagen der numerischen Simulation

Zahlendarstellung

Normalisierte Gleitpunktzahl

Zahl bei dem genau eine Stell vor dem Komme ungleich 0 ist. Die entsprechende Kommaverschiebung wird im Exponenten des Faktors untergebracht.

$$\underbrace{3.001109}_{Mantisse}\cdot\left.\underbrace{10}_{Basis}\right.^{\overbrace{9}^{Exponent}}$$

$$z=\pm\left(d_{1}B^{0}+d_{2}B^{-1}+\ldots+d_{t}B^{-t+1}\right)B^{E}$$

Basis

$B$ feste Zahl, z.B. 10 (Dezimal) oder 2 (Binär)

• bei Basis $B=2$ braucht $d_{1}$ nicht expliziet gespeichert werden, da es durch die Normalisierung $1$ sein muss

Exponent

$E$ ganze Zahl und beschränkt $E_{min}\le E\le E_{max}$

• mehr Bits für den Exponenten ergibt größeren Zahlenbereich

Ziffern

$d_{i}\in\left\{ 0,1,2,\ldots,B-1\right\}$

• $z$ normalisiert wenn $d_{1}\neq0$

Mantisse

$M=d_{1}d_{2}\ldots d_{t}$

• Länge der Mantisse $t$ (konstant)
• mehr Bits für die Mantisse ergibt größeren (relative) Genauigkeit

Eigenschaften

• Es gibt eine größte und eine kleinste darstellbare Zahl
• Auf heutigen Computer ist $B=2$ quasi Standard
• bei Basis $B=2$ braucht $d_{1}$ nicht expliziet gespeichert werden, da es durch die Normalisierung $1$ sein muss
• Es wird noch ein weiteres Bit für das Vorzeichen gebraucht: $s$

Binär

• $z=\left(-1\right)^{s}\cdot\left(1+M\right)\cdot2^{E}$
• Einige besondere Belegungen sind reserviert für Unendlich und co: siehe IEEE 754

relative Maschienengenauigkeit

(machine precision) heißt der Abstand der Zahlen im Intervall $\left[1,2\right]$

• IEEE single precision $eps=2^{-23}\approx1,19\cdot10^{-7}$
• IEEE double precision $eps=2^{-52}\approx2,2\cdot10^{-16}$

Rundungsfehler

Rundung

$\textrm{rd}\left(g\right)$ Abbilden einer Zahl auf die ``am nächsten liegende'' darstellbare Zahl

$$\forall g:\left\vert x-\textrm{rd}\left(g\right)\right\vert\le\left\vert x-g\right\vert$$

• Es gibt unterschiedliche Rundungsarten nach IEEE 754
  • R1 immer aufrunden (nach rechts)
  • R2 immer abrunden (nach links)
  • R3 Runden durch abschneiden (nach Null)
  • R4 Runden zur nächsten Zahl (zum Nächsten)

relative Rundungsfehler

$\varepsilon=\frac{\textrm{rd}\left(x\right)-x}{x}$

• $\textrm{rd}\left(x\right)=x\cdot\left(1+\varepsilon\left(x\right)\right)$
• mit $\left\vert\varepsilon\left(x\right)\right\vert\le\textrm{eps}$
• Für die elementaren arithmetischen Operationen ( $+,-,\cdot,\/$) gilt zumindest näherungsweise
  $f_{gerundet}\left(x,y\right)\approx f\left(x,y\right)\cdot\left(1+\varepsilon_{f}\right)$ mit $\left\vert\varepsilon_{f}\right\vert\le\textrm{eps}$

Fortpflanzung von Rundungsfehlern

• Assoziativ- und Distributivgesetz gelten nicht für Gleitpunktarithmetik:
  
  $$\textrm{gl}\left(\textrm{gl}\left(x+y\right)+z\right)\neq\textrm{gl}\left(x+\textrm{gl}\left(y+z\right)\right)$$
  ( $\textrm{gl}$ ist Gleitpunktimplementierung der entsprechenden Funktion)
• In allen Ausdrücken
  $$\textrm{gl}\left(x\diamond y\right)=\left(x\diamond y\right)\cdot\left(1+\varepsilon\right)$$
  sukzessive ersetzen.
  Daraus Ermittlung einer Darstellung
  $$\textrm{gl}\left(f\right)=f\cdot\left(1+\left(\ldots\right)\varepsilon_{1}+\left(\ldots\right)\varepsilon_{2}+\ldots\right)$$
  mit von Eingangsdaten abhängigen Verstärkungsfaktoren

Kondition

Gegeben

$f:D\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ sei mindestens einmal stetig differenzierbar

absuluter Fehler in $x$

 

$$\Delta x_{j}=\left\vert\tilde{x}_{j}-x_{j}\right\vert$$

absuluter Fehler in $y$

$$\Delta y_{j} = \left\vert\tilde{y}_{j}-y_{j}\right\vert=\left\vert f_{i}\left(\tilde{x}\right)-f_{i}\left(x\right)\right\vert$$

relativer Fehler in $x$

$\varepsilon_{x_{j}}=\frac{\Delta x_{j}}{x_{j}}$

relativer Fehler in $y$

$$\varepsilon_{y_{j}}=\frac{\Delta y_{j}}{y_{j}}=\sum_{k=1}^{n}\und... ..._{j}\left(x\right)}{\partial x_{k}}}_{Konditionszahlen}\cdot\varepsilon_{x_{k}}$$

Konditionszahlen

(siehe vorherige Formel) nennt man die Verstärkungsfaktoren des relativen Fehlers in den Eingangsdaten.

• sind diese groß ist das Problem schlecht Konditioniert
• sind diese klein ist das Problem gut Konditioniert
• hängen nicht von der Implementierung der Funktion ab, sondern nur von deren Eigenschaften

  Multiplikation

  $\varepsilon_{\cdot}=\varepsilon_{x_{1}}+\varepsilon_{x_{2}}$

  Division

  $\varepsilon_{/}=\varepsilon_{x_{1}}-\varepsilon_{x_{2}}$

  Addition / Subtraktion

   

  $$\varepsilon_{\pm}=\frac{x_{1}}{x_{1}\pm x_{2}}\varepsilon_{x_{1}}-\frac{x_{2}}{x_{1}\pm x_{2}}\varepsilon_{x_{2}}$$

  • Subtraktion (speziell von gleich großen Zahle) ist extrem schlecht Konditioniert: Auslöschung

  Wurzel

  $\varepsilon_{\sqrt{\ }}=\frac{\varepsilon_{x_{1}}}{2}$

Numerische Stabilität

ein gut Konditioniertes Problem kann bei schlechter Implementierung trotzdem extreme Fehlerverstärkung haben

• Formel Umformen! Umständlich kann besser als direkt sein! Subtraktionen vermeiden!