Matrizen

Sei nun $V=\mathbb{R}^{n}$ und $\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ Basis von $V$.

Matrizen zu Bilinearformen

Sei $\beta:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ symmetrische Bilinearform.

$$\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}=\left(\beta\left(v_{i},v_{j}\right)\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathbb{R}^{n\times n}$$

heißt Matrix von $\beta$ bezüglich $\mathcal{B}.$

• $\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}$ist symmetrisch, d.h.
  $\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}=\left(\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}\right)^{T}$
• Die Matrix des euklidischen Skalarproduktes $\left\langle .,.\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ auf $V$ und $\mathcal{B}=\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)$ ist
  $$\left[\left\langle .,.\right\rangle \right]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & 1\end{array}\right)=I_{n}$$
  weil $\mathcal{B}$ eine Orthonormalbasis ist.

Bilinearform zu Matrix

Sei $B=\left(b_{ij}\right)\in\mathbb{R}^{n\times n}$ eine symmetrische Matrix. Dann definiert

$$\left(u,v\right)\mapsto u^{T}Bv$$

eine symmetrische Bilinearform auf $V$.

Matrix zu verschiedenen Basen

Sei $\mathcal{B}'=\left(v_{1}^{'},\ldots,v_{n}^{'}\right)$ eine weitere Basis von $V$, und sei $\beta:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ symmetrische Bilinearform auf $V$ mit Matrizen $A=\left[\beta\right]_{\mathcal{B}}$ und $A'=\left[\beta\right]_{\mathcal{B}'}$ Es sei ferner $S\in GL_{n}\mathbb{R}$ die Matrix des Basiswechsels von $\mathcal{B}'$ nach $\mathcal{B}$, das heißt

$$S=\left[\textrm{id}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$$

und

$$\left(\begin{array}{c} s_{i1}\\ \vdots\\ s_{in}\end{array}\right)=\left[v_{i}'\right]_{\mathcal{B}}$$

$$A'=S^{T}AS$$

• siehe auch sub:Matrix-bez=FCglich-Basen.