Geometrische Eigenschaften euklidischer und unitärer Räume

Es gelten die Polarisierungsidentitäten

euklidisch

$$\left\langle x,y\right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-y\right\Vert ^{2}\right)$$

unitär

$$\left\langle x,y\right\rangle =\frac{1}{4}\left({\scriptstyle \le... ...(\left\Vert x+iy\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-iy\right\Vert ^{2}\right)}\right)$$

• d.h. sowohl im euklidischen als auch im unitären Fall ist das Skalarprodukt durch die Norm bestimmt.
• in euklidischen Räumen gilt:
  $$\left\Vert u\right\Vert =\left\Vert v\right\Vert \Leftrightarrow\left\langle u+v,u-v\right\rangle =0$$

Satz des Pythagoras

$$x\perp y\Rightarrow\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}+\left\Vert y\right\Vert ^{2}$$

Ungleichung von Cauchy-Schwarz

$$\left\vert\left\langle x,y\right\rangle \right\vert\le\left\Vert x\right\Vert \cdot\left\Vert y\right\Vert$$

Winkel

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidischer bzw. unitärer Raum. Zu $x,y\in V\backslash\left\{ 0\right\}$ sei der Winkel $\gamma\in\left[0,\pi\right]$ definiert durch:

$$\cos\gamma=\frac{\Re\left\langle x,y\right\rangle }{\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert }$$

• $\Re\hat{=}$ Realteil