Orthogonale Teilräume

Sei $\left(V,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ euklidischer oder unitärer Raum.

Definition

Zu $M\subseteq V$ heißt

$$M^{\perp}=\left\{ v\in V\vert\forall m\in M:v\perp m\right\}$$

das orthogonale Komplement von $M$.

• $M^{\perp}\le V$ ist linearer Teilraum von $V$

Eigenschaften

Seien $A,B\subseteq V$. Dann gilt:

1. $A\subseteq B\Rightarrow B^{\perp}\subseteq A^{\perp}$
2. $A\subseteq B^{\perp}\Leftrightarrow B\subseteq A^{\perp}$
3. $A\subseteq\left(A^{\perp}\right)^{\perp}$
4. $A^{\perp}=\left(\left(A^{\perp}\right)^{\perp}\right)^{\perp}$
5. $\left(A\cup B\right)^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}$
6. $A\cap A^{\perp}=\left\{ 0\right\}$

Interpretation als Gleichungsystem

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$ euklidischer Raum und $a\in\mathbb{R}^{n}$. Dann ist für $a=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)$ und $x=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$

$$a^{\perp}:=\left\{ a\right\} ^{\perp}=\left\{ v\in\mathbb{R}^{n}\vert\left\langle a,v\right\rangle =0\right\}$$

die Lösungemenge der linearen Gleichung $\left\langle a,x\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0$.

Weiterhin gilt für $a,b,c,\ldots\in\mathbb{R}^{n}$, dass $\left\{ a,b,c,\ldots\right\} ^{\perp}=a^{\perp}\cap b^{\perp}\cap c^{\perp}\cap\ldots$ die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungsystems $\left\langle a,x\right\rangle =\left\langle b,x\right\rangle =\left\langle c,x\right\rangle =\ldots=0$

• für $a\neq0$ ist $a^{\perp}$ eine lineare Hyperebene
• $a,b,c,\ldots$ sind sozusagen die Zeilen der Matrix des zugehörigen linearen Gleichungsystems

Orthogonaler Teilraum und Basis

Sei $a_{1},\ldots,a_{m}\in V$ und

$$U=\textrm{lin}\left(a_{1},\ldots,a_{m}\right)$$

dann gilt $U^{\perp}=\left\{ a_{1},\ldots,a_{m}\right\} ^{\perp}$.

Endlichdimensionale Teilräume

Sei $U\le V$ endlich dimensionaler Teilraum. Dann gelten

1. $V=U\oplus U^{\perp}$
2. $\left(U^{\perp}\right)^{\perp}=U$

Projektion

Sei $U\le V$ ein endlichdimensionaler Teilraum mit Orthonormalbasis $\left(u_{1},\ldots,u_{m}\right)$. Die Abbildung

$$\pi:V\rightarrow V,v\mapsto\sum_{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}$$

besitzt folgende Eigenschaften:

1. $\pi$ ist linear
2. $\pi\left(v\right)\in U$ für alle $v\in V$
3. $\pi\left(u\right)=u$ für alle $u\in U$
4. $\pi\circ\pi=\pi$
   d.h. $\pi$ ist eine Projektion auf $U$
5. $\textrm{Im}\left(\pi\right)=U$ und $\textrm{ker}\left(\pi\right)=U^{\perp}$
6. $v-\pi\left(v\right)\in U^{\perp}$ für alle $v\in V$
7. $\left\Vert v-\pi\left(v\right)\right\Vert \le\left\Vert v-u\right\Vert$ für alle $v\in V,u\in U$
   Gleichheit gilt nur für $\pi\left(v\right)=u$.

• $\pi\left(v\right)$ ist also die beste Approximation für $v$ in $U$.
• $\pi$ ist unabhängig (in allen Fällen identisch) von der konkreten Wahl der Orthonormalbasis für $U$ solange das $U$ gleich bleibt.
• Diese Projektion kommt auch so im Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren vor, siehe sub:Orthonormalisierungsverfahren-von-Gram-Schmidt.
• Diese Abbildung ist durch die folgende Angaben bereits eindeutig bestimmt:
  • lineare Projektion
  • $U=\textrm{im}\pi=\left(\textrm{ker}\pi\right)^{\perp}$
• Ist $\pi$ die Orthogonalprojektion auf $U$, so ist $\textrm{id}-\pi$ die Orthogonalprojektion auf $U^{\perp}$