Lineare Abbildungen

Lineare Abbildung, Bild, Kern

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über demselben Körper $K$.

Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ heißt linear (über $K$), falls gilt:

$$\forall\lambda,\mu\in K,u,v\in V:f\left(\lambda u+\mu v\right)=\lambda f\left(u\right)+\mu f\left(v\right)$$

Sei $f:V\rightarrow W$ lineare Abbildung. Die Menge $\textrm{im}f=\left\{ f\left(v\right)\vert v\in V\right\} \subseteq W$ heißt Bild von $f$.

Die Menge $\textrm{ker}f=\left\{ v\in V\vert f\left(v\right)=0\right\} \subseteq V$ heißt Kern von $f$.

• Es gilt immer $0\in\textrm{ker}f$
• Der Kern ist ein Untervektorraum von $V$:
  $\textrm{ker}f\le V$
• Das Bild ist ein Untervektorraum von $W$:
  $\textrm{im}f\le W$
• Das Urbild ist ein Untervektorraum:
  $\forall U\subseteq W:f^{-1}\left(U\right):=\left\{ x\in V\vert f\left(x\right)\in U\right\}$
• Eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn $\textrm{ker}f=\left\{ 0\right\}$ ist
  $\forall u,v\in V:f\left(u\right)=f\left(v\right)\Leftrightarrow u-v\in\textrm{ker}f$
• Die Basis des Bildes entspricht den nicht 0 Zeilen nach anwendung von Gauss-Jordan auf $\left[\varphi\right]^{Tr}$
• Eine lineare Abbildung wird auch als Vektorraum Homomorphismus (strukturerhaltende Abbildung) bezeichnet

Projektion

Eine Abbildung, für die gilt $f\circ f=f$, nennt man eine Projektion.

• Für eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V$, die eine Projektion ist, gilt $V=\textrm{im}f\oplus\ker f$
• für $x\in\textrm{im}f$ gilt: $x=f\left(x\right)$
• Ist $B_{1}$ eine Basis von $\textrm{im}\left(f\right)$ und $B_{2}$ eine Basis von $\textrm{ker}\left(f\right)$ so ist die Matrix von $f$ bezüglich $B_{1}\cup B_{2}$ eine Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen nur Nullen und einsen stehen.
• $\left[f\right]$ ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix, es gibt also ein $S$, so dass $S^{-1}\left[f\right]S$ eine Diagonalmatix ist. $S$ ist die Basismatirix von $B_{1}\cup B_{2}$.

Dimensionsformel

Für das Folgende erweitern wir die Addition in $\mathbb{N}$ auf die Menge $\mathbb{N}\cup\left\{ \infty\right\}$ wie folgt: $\forall n\in\mathbb{N}:n+\infty=\infty+n=\infty$.

Sei $f:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung.

Es gilt

$$\dim\textrm{ker}f+\dim\textrm{im}f=\dim V$$

• Beachten dass alle Dimensionen bzgl. gleichem Körper messen.
• $\dim\left(\textrm{Im}f\right)=\dim\left(W\right)\Leftrightarrow f$ surjektiv
• $\dim\left(\ker f\right)=0\Leftrightarrow f$ injektiv

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Sei $f:V\rightarrow V$ linear und $\textrm{dim}V<\infty$. Dann sind Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent.

• Bei unendlich dimensionalen Vektorräumen sind gilt die Äquivalenz von In-, Sur- und Bijektivität nicht.

Rang

Sei $f:V\rightarrow W$ linear.

$$\textrm{rank}_{K}f=\dim_{k}f\left(V\right)=\dim_{k}\textrm{im}f$$

heißt Rang von $f.$

Lineare Abbildungen und Basen

Sei $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ Basis von $V$ und $f:V\rightarrow W$ lineare Abbildung. Es gilt:

1. $\textrm{lin}\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)=\textrm{im}f$
2. $\textrm{rank}f=$ maximale Länge einer linear unabhängigen Teilfamilie von $\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)$
3. $f$ surjektiv $\Leftrightarrow$ $\textrm{rank}f=\dim W$
4. $f$ injektiv $\Leftrightarrow$ $\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)$ linear unabhängig
5. $f$ bijektiv $\Leftrightarrow$ $\left(f\left(v_{1}\right),\ldots,f\left(v_{n}\right)\right)$ Basis von $W$

Hauptsatz über lineare Abbildungen

Seien $V,W$ $K$-Vektorräume, $\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ Basis von $V$ und $w_{1},\ldots,w_{n}\in W$. Dann existiert genau eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow W$ mit $\forall i:f\left(v_{i}\right)=w_{i}$

Isomorphismus

Eine bijektive $K$-lineare Abbildung heißt $K$-Vektorraum-Isomorphismus.

Zwei $K$-Vektorräume $V,W$ heißen isomorph, falls ein $K$-Vektorraum-Isomorphismus $f:V\rightarrow W$ existiert.

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit $n<\infty$. Dann ist $V$ isomorph zu $K^{n}$.

Matrix

Sei $X$ eine Menge und $m,n\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\}$. Eine $\left(m\times n\right)$-Matrix $M$ mit Koeffizienten in $X$ ist eine Abbildung $M:\left\{ 1,\ldots,m\right\} \times\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow X$. Üblicherweise schreibt man so ein $M$ als rechteckiges Schema.

$$\left(\begin{array}{ccc} M\left(1,1\right) & \ldots & M\left(1,n\... ...ts & \vdots\\ M\left(m,1\right) & \ldots & M\left(m,n\right)\end{array}\right)$$

• Merkregel für die Indizes:
  Zeilen Zuerst - Spalten Später $\Leftrightarrow$ 1.ter Index für Zeilennummer, 2.ter Index für Spaltennummer

Abbildungsmatrix

Sei $V,W$ Vektorräume über $K$ und $f:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Seien $\mathcal{B}=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ und $\mathcal{C}=\left(w_{1},\ldots,W_{n}\right)$ Basen von $V$ bzw. $W$. Für jedes $i\in\left\{ 1,\ldots,m\right\}$ existiert eindeutig bestimmte $\mu_{i1},\ldots,\mu_{in}\in K$ mit $f\left(v_{i}\right)=\mu_{i1}w_{1}+\ldots+\mu_{in}w_{n}$. Die Matrix $M_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\left(f\right):\left\{ 1,\ldots,m\right\} \times\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrow K:\left(i,j\right)\mapsto\mu_{ij}$ heißt Matrix von $f$ bzgl. $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$.

• In den Spalten einer Matirx stehen die Bilder der Basisvektoren bezüglich der zugehörigen linearen Abbildung.

Besondere Matrizen

Diagonalmatrix

$$\textrm{diag}\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)=\left(\begin{array}{ccc} a_{1} & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & a_{n}\end{array}\right)$$

• Sind invertierbar mit
  $A=\textrm{diag}\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\Leftrightarrow A^{-1}=\textrm{diag}\left(a_{1}^{-1},\ldots,a_{n}^{-1}\right)$

Einheitsmatrix

$$I_{n}=\left(\delta_{ij}\right)=\textrm{diag}\left(\underbrace{1,\... ...ight)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & 1\end{array}\right)$$

• $\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & \textrm{fuer }i=j\\ 0 & \textrm{sonst}\end{cases}$ ist das Kronecker Symbol.
• sind multiplikativ neutrales Element der Matrizen.

Elementarmatrizen

$$E_{kl} = \left(e_{ij}\right)\in K^{m\times n}$$

$$e_{ij}=\begin{cases} 1 & \textrm{falls }\left(i,j\right)=\left(k,l\right)\\ 0 & \textrm{falls }\left(i,j\right)\neq\left(k,l\right)\end{cases}$$

• $E_{kl}E_{nm}=\delta_{ln}E_{km}=\begin{cases} E_{km} & \textrm{falls }l=n\\ 0 & \textrm{falls }l\neq n\end{cases}$
• spannen den Vektorraum der Matrizen auf, sind also eine Basis

Permutationsmatrix

 

$${\scriptscriptstyle \left(\begin{array}{ccccc} \ddots & & \ldots ... ...nd{array} & & \vdots\\ & 1 & & 0\\ 0 & & \ldots & & \ddots\end{array}\right)}$$

• Entspicht einer Matrix die auf der Diagonalen nur 1en und sonst 0en hat, bis auf zwei stellen, bei der diese mit mit den 0en auf der Nebendiagonale vertauscht wurden.
• Multiplikation bewirkt Vertauschung zweier Spalten
• Ist inertierbar (ist selbst ihre eigene Inverse)

Stochastische Matrix

$$\forall i:\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1$$

• Das Produkt von stochastischen Matrizen ist wieder eine stochastische Matrix

Transposition

 

$$A^{tr} = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)^{tr}$$

$$= \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{m1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & \ldots & a_{nm}\end{array}\right)$$

• $\left(AB\right)^{tr}=B^{tr}A^{tr}$
• Vertauschen von Zeilen und Spalten
• entspricht Multiplikation mit (Auf der Nebendiagolnalen $1$ en, sonst 0)
  $$\left(\begin{array}{ccc} 0 & & 1\\ & \dots\\ 1 & & 0\end{array}\right)$$
  dies ist eine invertierbare Matrize (bijektive Abbildung), mit sich selbst als Inverse
• $A$ und $A^{tr}$ haben gleiche Eigenwerte aber evtl. unterschiedliche Eigenvektoren

Nilpotent

 

Eine Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt nilpotent, falls ein $k\in\mathbb{N}$ existiert mit

$$A^{k}=0$$

• Nilpotente Matrizen nur 0 als Eigenwert